Задача: доказать, что линейный функционал $%f$% на пространстве $%(X, \|\ \|)$% непрерывен, если и только если $%Ker f=[Ker f]$%.

задан 19 Ноя 19:46

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть $%\ker f$% замкнуто, но $%f$% не непрерывен в нуле. Тогда можно найти такую последовательность $%x_n\in X$%, $%x_n\to0$%, на которой $%|f(x_n)|\geq c>0$%. Ясно, что $%y_n=\dfrac{cx_n}{f(x_n)}\to0$% и $%f(y_n)=c$%. Теперь, если рассмотреть последовательность $%z_n=y_n-y_1\to-y_1$%, то $%z_n\in\ker f$%. При этом $%-y_1\not\in\ker f$%, поскольку $%f(-y_1)=-c<0$% и $%\ker f$% -- незамкнуто. Противоречие.

В обратную сторону утверждение воистину тривиально.

ссылка

отвечен 19 Ноя 19:58

Большое спасибо! В обратную сторону и правда проблем не возникает.

(19 Ноя 20:17) haosfortum
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×693

задан
19 Ноя 19:46

показан
76 раз

обновлен
19 Ноя 20:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru