Из точки M, лежащей внутри треугольника ABC, на стороны BC, AC, AB проведены перпендикуляры, длины которых равны k, l и m соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠CAB=α и ∠ABC=β. α=π/4, β=2π/3 , k=5, l=3, m=4. В случае, если ответ будет нецелым, округлите его до ближайшего целого.

задан 19 Ноя 23:17

1

постройте на отрезках $%MA$%, $%MB$% и $%MC$% окружности как на диаметрах... они будут проходить через основания опущенных на стороны перпендикуляров...

получается задача - найти площадь вписанного четырёхугольника по двум сторонам и углу между ними, если два других угла, прилежащих к этим сторонам, прямые...

возможно есть какая-то готовая формула для решения, но я её не знаю... но данных достаточно и, немного повозившись, площади можно найти...

(20 Ноя 14:39) all_exist

@all_exist хорошо, попробую решить так

(20 Ноя 17:20) no name

@all_exist: как оказалось, общая формула для площади такого 4-угольника имеет вполне "сносный" внешний вид. Изначально это не было ясно.

(22 Ноя 6:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

а можно методом координат шваркнуть...

пусть $%B(0;0)$%, $%A(-a;0)$%... тогда $$ BC\,:\;\;x\sqrt{3}-y=0,\quad AC\,:\;\;x-y+a=0, \quad M(b;4) $$ откуда получаем, что $$ \frac{|b\sqrt{3}-4|}{2}=5, \quad \frac{|b-4+a|}{\sqrt{2}}=3 $$

и решаем...

ссылка

отвечен 20 Ноя 17:13

СПАСИБО БОЛЬШОЕ ЗА НАВОДКУ , решил через четырехугольник , показал бы как, но по репе нельзя картинки добавлять

(20 Ноя 19:29) no name
10|600 символов нужно символов осталось
0

По-моему, представляет некоторый интерес вывод общей формулы для площади 4-угольника по заданным его элементам. Здесь перпендикуляры разрезают треугольник на три таких 4-угольника, то есть надо будет трижды применить одну и ту же формулу.

Пусть $%APMQ$% -- четырёхугольник, в которым углы при вершинах $%P$% и $%Q$% прямые. Мы знаем величину угла $%\alpha$% при вершине $%A$% и длины $%MP=p$%, $%MQ=q$%.

Обозначим углы $%MAP$%, $%MAQ$% через $%\phi$% и $%\psi$% соответственно. Ясно, что $%AP=p\cot\phi$%, $%AQ=q\cot\psi$%, откуда площадь $%APMQ$% равна $%\frac12(p^2\cot\phi+q^2\cot\psi)$%.

По теореме синусов, $%p=2R\sin\phi$% и $%q=2R\sin(\alpha-\phi)$%. Отсюда $%\frac{q}p=\frac{\sin\alpha\cos\phi-\cos\alpha\sin\phi}{\sin\phi}$%, поэтому $%\cot\phi=\frac{\frac{q}p+\cos\alpha}{\sin\alpha}$%. Аналогично, $%\cot\psi=\frac{\frac{p}q+\cos\alpha}{\sin\alpha}$%. Тем самым, $$S=\frac{2pq+(p^2+q^2)\cos\alpha}{2\sin\alpha}.$$

Здесь получается численный ответ $%S=\frac{93}2+27\sqrt2+\frac{47}2\sqrt3+15\sqrt6\approx162.1293064$% для площади треугольника.

Задача хотя и чисто вычислительная, но не лишена интереса.

ссылка

отвечен 23 Ноя 14:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,945

задан
19 Ноя 23:17

показан
138 раз

обновлен
23 Ноя 14:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru