Привет! Никак не могу выполнить следующий номер: Доказать что если некоторая степень цикла равна единице, то показатель степени делится на длину цикла (длиной цикла называется число его элементов).

Вообще не понимаю, как цикл в степени может быть равен единице - это же множество чисел? Спасибо).

задан 19 Ноя 23:59

Циклом (ab...z) называется перестановка символов, при которой каждый элемент переходит в следующий, а последний переходит в первый. Под единицей здесь понимается не число 1, а единичный элемент группы. Это такое преобразование (его можно обозначить e), при котором каждый символ остаётся на месте: a переходит в a, b переходит в b, и так далее. Ясно, что если мы цикл длиной n возведём в n-ю степень, то есть повторим n раз, то каждый символ по кругу перейдёт в себя, и будет e. Если это произошло при возведении в k-ю степень, то было движение по кругу целое число раз, то есть k делится на n.

(20 Ноя 1:30) falcao

Аа, ничего себе, спасибо! Но все равно не до конца понял смысл степени - как тогда объяснить степень цикла, равную, к примеру, 2? Если при e каждый переходит в себя самого, то что в общем случае означает степень цикла n?

(20 Ноя 9:53) zhiraslan

@zhiraslan: цикл -- это преобразование. Каждый символ при нём куда-то переходит. Преобразования можно перемножать, последовательно их выполняя. Если мы перемножим n одинаковых преобразований подряд, то это значит, что мы преобразование возвели в n-ю степень. Например, если цикл (abcd) возвести в квадрат, то получится произведение двух циклов (ac)(bd). Каждый элемент сдвинулся на две позиции. Если в куб, то будет (adcb). Если в 4-ю степень, то получится e (всё вернётся назад).

Вообще, откройте учебник Кострикина и почитайте про подстановки. Тогда все детали станут ясны.

(20 Ноя 12:23) falcao

@falcao: Спасибо огромное за ваш ответ! На самом деле, я смотрел у Кострикина и ничего не вынес - а вы мне объяснили. Я учебников 5 разных просмотрел, причем классических, серьезных. Видимо, не дотягиваю пока)

(20 Ноя 17:06) zhiraslan

Тут как-нибудь можно отметить вопрос как верный или типа того?

(20 Ноя 17:08) zhiraslan

@zhiraslan: в учебниках по поводу подстановок всегда даётся исчерпывающая информация. Возможно, Вы её оттуда не вычленили. Так или иначе, что-то доспросить бывает полезно.

Поскольку тут не ответы, а комментарии, то как-либо специально отмечать не обязательно.

(20 Ноя 20:59) falcao

@falcao, ОК, перечитаю) Я, кстати, смотрю, вы во всем на форуме разбираетесь) Мое уважение)

(20 Ноя 21:54) zhiraslan

@zhiraslan: далеко не во всём. Я не разбираюсь в матфизике, например, и в каких-то других вещах, которые напрочь забыл. Но подстановки -- это, во-первых, элементарная вещь, а во-вторых -- это часть теории групп, то есть моей основной специальности.

(20 Ноя 21:59) falcao

@falcao, последний вопрос) Такое задание: доказать, что умножение слева подстановки на цикл (i j) длины 2 приводит к транспозиции элементов i и j в нижней строке (перестановке), а умножение справа - к транспозиции элементов i и j в верхней. Не совсем понимаю, как вычислять произведение подстановок разной длины - разве так можно делать? Спасибо))

(21 Ноя 1:05) zhiraslan

Аа, нет, там же просто можно дописать соответствующие элементы, которые представляют собой циклы единичной длины, верно? И у нас будут 2 подстановки с одинаковыми элементами в первых строках.

(21 Ноя 1:14) zhiraslan

@zhiraslan: основная запись подстановки -- "двухэтажная", когда мы указываем, что куда переходит для всех элементов. Тогда оба утверждения становятся очевидными. Но чаще всего подстановки раскладывают в произведение независимых циклов. Так они записываются короче. Неподвижным элементам соответствуют циклы длиной 1. Их можно опускать. Если что-то не выписано, то оно переходит само в себя. Это разные способы записи, не более того. И там много таких неоднозначностей. Например, (abcd) и (bcda) -- разные записи одного и того же.

(21 Ноя 1:34) falcao

@falcao, да уж, неоднозначностей много, там ведь можно при записи подстановки начинать с произвольного элемента первой строки. ОК, спасибо огромное, я разобрался в теме чисто благодаря вам))

(21 Ноя 1:36) zhiraslan
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,600
×308
×82

задан
19 Ноя 23:59

показан
96 раз

обновлен
21 Ноя 1:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru