Задача: доказать, что собственное подпространство $%X'$% пространства $%(X,\ \|\ \|)$% имеет пустую внутренность и, как следствие, если $%X'=[X']$%, $%X'$% нигде не плотно в $%X$%.

задан 20 Ноя 16:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

Предположим, что $%X'$% имеет непустую внутренность. Тогда в нём есть шар $%B(x,r)=\{y:\|y-x\| < r\}$%. Сопоставим точке $%z\in X$% элемент $%y=x+r\cdot\dfrac{z}{2\|z\|}$%, тогда $%y\in B(x,r)\subset X'$%. Но тогда $%z=\dfrac{2(y-x)\|z\|}{r}\in X'$%, поскольку $%X'$% -- подпространство. По той же причине, в $%X'$% лежит и нулевой вектор. Тем самым, $%X=X'$%. Противоречие.

Следствие отсюда совсем очевидно, если рассуждать от противного и пользоваться определениями плотности/нигде не плотности.

ссылка

отвечен 20 Ноя 16:38

изменен 20 Ноя 16:50

Большое спасибо!

(20 Ноя 19:27) haosfortum

Не за что. Отсюда, кстати, выходит ещё одно интересное следствие: в бесконечномерном банаховом пространстве не может быть счётного базиса Гамеля.

(20 Ноя 19:29) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×693

задан
20 Ноя 16:09

показан
93 раза

обновлен
20 Ноя 19:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru