Задача: доказать, что совершенное конечное расширение $%\mathbb{F}$% поля $%\mathbb{k}$% сепарабельно.

Я нашел этот же вопрос на форуме, но там ни ответа, ни комментариев.

задан 20 Ноя 19:46

@haosfortum: как определяется совершенное расширение? Там ведь есть много эквивалентных определений.

(20 Ноя 20:31) falcao

Вроде бы, тут есть.

(20 Ноя 20:34) falcao

@falcao, поправьте, если я не прав, но там вроде бы в доказательствах изначально используется утверждение моего вопроса как определение совершенного поля. Меня же интересует следующее: поле называется совершенным, если неприводимые многочлены над ним не имеют кратных корней.

То есть по сути мне интересно доказательство того факта, что эти два определения эквивалентны.

(20 Ноя 20:46) haosfortum

@falcao, а, нет, я сам себя ввел в заблуждение. Допустим, нам известен тот факт, что совершенность поля эквивалентна сепарабельности всех его алгебраических расширений, а также нам известно, что любое алгебраическое расширение совершенного поля является совершенным. Как доказать тот факт, что если конечное расширение некоего произвольного поля является совершенным, то оно сепарабельно?

(20 Ноя 20:54) haosfortum

@haosfortum: если они одно берут за определение, то должны доказывать другое. Какая-то полезная информация там, скорее всего, есть. И ссылки тоже разные имеются. Я сам детально в это всё не вникал. Помнится, даже когда читал Ленга в стародавние времена, то тему (не)сепарабельности как-то особо глубоко не прорабатывал.

(20 Ноя 20:55) falcao

Вот на эти записки имеется там ссылка, а в них определение берётся такое же, как у Вас.

(20 Ноя 20:57) falcao

@falcao, спасибо, попробую поискать там информацию

(20 Ноя 21:04) haosfortum

@falcao, я немного изучил вопрос. В моей задаче поле $%\mathbb{k}$% может быть произвольным, то есть не обязательно совершенным (бесконечное характеристики p>0). Учитывая совершенность его расширения, имеем тот факт, что гомоморфизм Фробениуса в расширении является сюръективным, то есть каждый элемент является корнем p-ой степени. Я пытаюсь понять, как из этих фактов доказать сепарабельность расширения.

(2 дня назад) haosfortum

(продолжение) Была мысль о том, чтобы каким-то образом показать, что поле $%\mathbb{k}$% также обязано быть совершенным, и из этого будет все следовать, но проблема в том, что расширение является конечным, а не алгебраическим, и поэтому не факт, что поле $%\mathbb{k}$% является совершенным. Но в таком случае нужно использовать сюръективность гомоморфизма Фробениуса как-то иначе, и я не очень понимаю, как именно.

(2 дня назад) haosfortum

@haosfortum: расширение является конечным, а не алгебраическим -- этой фразы я не понял. Ведь всякое конечное расширение автоматически алгебраично.

(2 дня назад) falcao

@falcao, возможно неудачно выразился. Есть факт, что если над полем все алгебраические расширения сепарабельны, то это поле совершенно. А в данной задаче рассматриваются только конечные расширения (которые, в довесок, являются совершенными). То есть если бы в утверждении задачи было "алгебраические", а не "конечные", то поле k обязано было быть совершенным (сколь эти расширения сепарабельны). Но т.к. там именно "конечные", то я не уверен, что можно показать, что поле k совершенно.

(2 дня назад) haosfortum

@haosfortum: я думаю, тут не надо рассуждать формально-логически, чтобы выводить утверждения из формулировок. Лучше мыслить не в терминах утверждений, а в терминах применяемых приёмов. Надо в литературе всё посмотреть, и понять, какие факты оттуда в принципе следуют. Скорее всего, должно сработать. Я сам на содержательном уровне тут мало что могу сказать, потому что в этот предмет глубоко погружаться нет желания.

(2 дня назад) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,593
×2

задан
20 Ноя 19:46

показан
65 раз

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru