Задача: доказать, что для любого $%f\in X^{\ast}$%, $%(X,\ \|\ \|)$%, $$\|f\|=\frac{1}{\inf_{x\in X,\ f(x)=1}\|x\|}.$$

задан 20 Ноя 22:15

Это простая манипуляция с эквивалентными свойствами. Можно брать sup||f(x)|| по всем x с нормой 1, а можно sup от частного ||f(x)||/||x|| по ненулевым x по причине линейности. Также sup от положительной величины равен 1/inf от обратной. Далее переворачиваем и нормируем по тому же принципу.

В условии плохо то, что f может быть нулевым, и тогда inf по пустому множеству не существует. Или его надо доопределять, полагая равным бесконечности. Но лучше исключить.

(20 Ноя 22:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Во-первых, исключаем из рассмотрения случай $%f\equiv0$%. Обозначим $%M=\{x\in X:f(x)=1\}$%, $%n=\inf\limits_{x\in M}\|x\|$%. Ясно, что $%\forall x\in M$% $%1=|f(x)|\leq\|f\|\|x\|$%, откуда $%\dfrac{1}{\|f\|}\leq n$%.

С другой стороны, по определению нормы функционала, для всякого $%0<\varepsilon<\|f\|$% найдётся $%x_\varepsilon\in X\setminus\{0\}$%, такой, что $%|f(x_\varepsilon)|>(\|f\|-\varepsilon)\|x_\varepsilon\|$%. Рассматривая $%x=\dfrac{x_\varepsilon}{f(x_\varepsilon)}$%, видим, что, во-первых, $%x\in M$%, а, во-вторых, $%|f(x_\varepsilon)|>(\|f\|-\varepsilon)\|x\||f(x_\varepsilon)|$%, откуда $%\|x\|<\dfrac{1}{\|f\|-\varepsilon}$%. Отсюда следует, что $%n<\dfrac{1}{\|f\|-\varepsilon}$%, и, ввиду произвольности $%\varepsilon$%, $%n\leq\dfrac{1}{\|f\|}$%.

ссылка

отвечен 21 Ноя 7:31

Я не очень понял утверждение, начинающееся с "по определению нормы функционала". Норма должна быть полуаддитивной, положительно определенной и точной. А откуда берется Ваше утверждение?

(2 дня назад) haosfortum

Из определения супремума. Стоит чуть-чуть его уменьшить -- и это уже не будет мажорантой.

(2 дня назад) caterpillar

@caterpillar, ага, вроде дошло, спасибо!

(2 дня назад) haosfortum
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×682

задан
20 Ноя 22:15

показан
84 раза

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru