Помогите, пожалуйста: найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, перестановочные с подстановкой А = ((1 2 3 4), (2 1 4 3)). P.S. Подстановки А и В перестановочные, если АВ=ВА.

задан 21 Ноя 5:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Непонятно, почему в качестве A указана не одна подстановка, а две. Даже если это два варианта, то там ответы одинаковые, так как цикл (2143) обратен циклу (1234) в группе. Равенство AB=BA равносильно BA^{-1}=A^{-1}B после домножения слева и справа на A^{-1}. Поэтому перестановочность с A равносильна перестановочностью с A^{-1}.

Итак, считаем далее, что A=(1234). Начнём с того, что любые степени одного и того же элемента перестановочны. Поэтому мы уже знаем 4 элемента, которые перестановочны с A. Это E=A^0, A=A^1, A^2=(13)(24), A^3=(1432).

Докажем, что в данном случае никаких других перестановочных с A элементов нет. Равенство AB=BA равносильно тому, что B^{-1}AB=A. Левая часть имеет название сопряжённого элемента (говорят, что мы A сопрягаем при помощи B).

Будем использовать такой несложный, но важный факт. Запишем B не в виде циклов, а как "двухэтажное" выражение: сверху 1 2 3 4, снизу a, b, c, d (перестановка). Легко проверить, что B^{-1}AB=(abcd), то есть в циклах элементы меняются на свои образы относительно B. Это простое в применении правило нахождения сопряжённого элемента. Проверяется оно элементарно: символ a при B^{-1} переходит в 1. Потом 1 в 2 при A. Потом 2 в b при B. Значит, при последовательном выполнении B^{-1}AB слева направо, a переходит в b. Аналогично, b переходит в C, и так далее.

Теперь у нас из B^{-1}AB=A возникло равенство (abcd)=(1234). Это не значит, что a=1, b=2, c=3, d=4, потому что цикл (1234) можно записать ещё тремя способами: (2341), (3412), (4123). Итого 4 варианта. Каждый из них даёт некоторое значение B. Значит, перестановочных с A подстановок не больше четырёх, а 4 у нас уже имеются. Значит, мы всё нашли.

На этот счёт есть вполне исчерпывающая общая теория. На форуме были задачи описания перестановочных элементов для подстановок общего вида. Но я ссылок не даю, потому что этот пример более простой.

ссылка

отвечен 21 Ноя 10:53

@falcao, спасибо за развернутый ответ! И тем не менее, А-типичная подстановка, я записал так, чтобы дать понять, что первая и вторая пары скобок - верхняя и нижняя строки подстановки соответственно. Иначе как записать, я не знаю. По поводу исчерпывающей теории - это где она есть? Ни в 1 книге, ни на 1 сайте ниче не нашел.

(21 Ноя 13:18) zhiraslan

В ответе в итоге 8 перестановочных подстановок

(21 Ноя 15:03) zhiraslan

@zhiraslan: значит, у Вас был такая двухэтажная подстановка

1234

2143

Это (12)(34) в виде произведения циклов. Тут уже надо применить обую теорию. У этой подстановки три сопряжённых: (13)(24) и (14)(23) кроме себя. (Сопряжённые имеют одинаковое циклическое строение.) Значит, её централизатор состоит из 4!/3=8 элементов. Их при желании можно все выписать.

Теорию (о действии групп на множествах) см. в Кострикине.

(21 Ноя 15:53) falcao

@falcao, OK, ещё раз просмотрю) Спасибо за подсказку темы😅

(21 Ноя 15:55) zhiraslan

@falcao, я так и не понял предыдущий ответ, можете, пожалуйста, объяснить что откуда? Нигде ничего нет, не понимаю, откуда люди это узнают

(22 Ноя 23:59) zhiraslan

@zhiraslan: если Вы не прочитает тему о действии групп на множествах, со всеми определениями и стандартными фактами, то объяснение Вы не поймёте. См. учебник Кострикина, параграф "Действие групп на множествах". Можно также посмотреть книгу "Алгебра" Ленга: хотя она в целом довольно абстрактная, о действиях групп на множествах там говорится близко к началу, и весьма доступным языком.

(23 Ноя 0:05) falcao

@falcao, но у Кострикина нет такой главы, гляну у Ленга

(23 Ноя 0:07) zhiraslan

но у Кострикина нет такой главы - есть.. в третьей части ...

(23 Ноя 0:14) all_exist

@zhiraslan: у меня в издании 1977 года это изложено на стр.300 и далее.

(23 Ноя 0:18) falcao

@falcao, сейчас посмотрел, не знал, что несколько частей есть. Спасибо Вам в очередной раз, что так терпеливо отвечаете =) И все же пока отложу, тот язык, на котором написан материал, я не воспринимаю, возможно, вернусь позже, ближе к экзамену. Еще раз спасибо!

(23 Ноя 0:26) zhiraslan

@zhiraslan: лучше тогда по лекциям. Там надо необходимый минимум сведений освоить -- он не такой большой. Несколько определений и теорем нужно знать.

(23 Ноя 5:03) falcao

@falcao, Вы имеете в виду лекции универские? Если бы все было так просто)) Математика у нас закончилась год назад, да мы этого и не проходили. В данный момент готовлюсь к поступлению в магистратуру в ВУЗ посерьезнее, необходимо сдать вступительный по математике, вот и мучаюсь; честно говоря, не думал, что программы по одним и тем же дисциплинам технических ВУЗов так разнятся.

(2 дня назад) zhiraslan

Я только зарегался здесь, но, чувствую, до лета буду здесь отвисать часто))

(2 дня назад) zhiraslan
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,345
×85
×82

задан
21 Ноя 5:05

показан
66 раз

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru