Доказать, что последовательность расходится, используя отрицание критерия Коши

Xn = (сумма k=1 по n) k/(k^2 + 3k + 10), n -целые

задан 21 Ноя 10:43

Рассмотрите суммы от n+1 до 2n. Учтите, что квадратный трёхчлен k^2+3k+10 строго положителен, вершина параболы в отрицательной точке, поэтому максимальное значение будет при k=2n, соответственно, знаменатель выходит за знак суммы и останется посчитать сумму арифметической прогрессии. В итоге полученная дробь не будет стремиться к нулю, откуда выдернется значение эпсилон.

(21 Ноя 10:56) caterpillar

Пусть m < n. Рассмотрите разность n-го и m-го элемента. Она положительна и равна y(m+1)+...+y(n), где y(k)=k/(k^2+3k+10)=1/(k+3+10/k) > 1/(2k) при достаточно больших k. Фактически, мы сравнили сумма с гармонической. Осталось взять n=2m и сделать оценку y(m+1)+...+y(2m) > (1/2)(1/(m+1)+...+1/(2m)). Слагаемые заменяем на самое последнее, и их всего m, поэтому сумма в скобках не меньше 1/2. Значит, |X(2m)-X(m)| > 1/4, каким мы m ни было большим, что по критерию Коши говорит о расходимости.

(21 Ноя 10:59) falcao

caterpillar, falcao, спасибо большущее за помощь!

(21 Ноя 11:58) bifixev
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,669
×3
×2

задан
21 Ноя 10:43

показан
35 раз

обновлен
21 Ноя 11:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru