alt text

задан 29 Авг '13 11:50

10|600 символов нужно символов осталось
4

$%s=\sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2}+\sqrt{(x+y-x)^2+(3-1)^2}+\sqrt{(8-(x+y))^2+(0-3)^2}=$%$%\rho((0,0),(x,1))+\rho((x,1),(x+y,3)+\rho((x+y,3),(8,0))$%. По неравенству треугольника сумма первых двух расстояний не меньше $%\rho((0,0),(x+y,3))$%alt text

Значит, искомое наименьшее значение равно наименьшему значению $%\rho((0,0),(x+y,3))+\rho((x+y,3),(8,0))$% Оно достигается, если $%(x+y,3)$% лежит на серединном перпендикуляре к $%(0,0)(8,0)$% и оно равно $%2\sqrt{3^2+4^2}=10$%

ссылка

отвечен 29 Авг '13 14:10

Можно даже вместо точки с координатами (8,0) рассматривать точку с координатами (8,6). Тогда нужное неравенство будет сразу следовать из того, что длина ломаной не меньше рассояния между её концами, и этот минимум достигается, когда все вершины лежат на отрезке с концами в концах ломаной.

(29 Авг '13 17:10) splen

ну да, я ввел бы эту точку если бы расписывал доказательство того, что $%(x+y,3)$% лежит на серединном перпендикуляре

(29 Авг '13 17:13) dmg3
10|600 символов нужно символов осталось
4

Из неравенства $$\sqrt {u_1^2+u_2^2} \sqrt {v_1^2+v_2^2} \geq u_1v_1+u_2v_2,$$ в котором равенство достигается, если числа $%u_1, u_2$% пропорциональны числам $%v_1, v_2$%, полагая $%u_1=x, \; u_2=a, \; v_1=x+y+z, \; v_2=a+b+c,$% где $%a,b,c$% - произвольные числа, получаем: $$\sqrt {x^2+a^2} \sqrt {(x+y+z)^2+(a+b+c)^2} \geq x(x+y+z)+a(a+b+c).$$ Аналогично, $$\sqrt {y^2+b^2} \sqrt {(x+y+z)^2+(a+b+c)^2} \geq y(x+y+z)+b(a+b+c),$$ $$\sqrt {z^2+c^2} \sqrt {(x+y+z)^2+(a+b+c)^2} \geq z(x+y+z)+c(a+b+c).$$ Складывая почленно последние три неравенства, получаем $$\left( \sqrt {x^2+a^2}+\sqrt {y^2+b^2}+\sqrt {z^2+c^2} \right) \sqrt {(x+y+z)^2+(a+b+c)^2} \geq $$ $$ \geq (x+y+z)^2 + (a+b+c)^2,$$ или, после сокращения на общий множитель, $$ \sqrt {x^2+a^2}+\sqrt {y^2+b^2}+\sqrt {z^2+c^2} \geq \sqrt {(x+y+z)^2+(a+b+c)^2},$$ причём равенство достигается, если числа $%x,y,z$% пропорциональны, соответственно, числам $%a,b,c$%. Следовательно, в общем случае выражение $% \sqrt {x^2+a^2}+\sqrt {y^2+b^2}+\sqrt {z^2+c^2} \; (a+b+c \neq 0),$% при условии $%x+y+z=S=const$% достигает наименьшего значения, равного $$\sqrt {S^2+(a+b+c)^2},$$ при $$x=\frac{a}{a+b+c}S, \; y=\frac{b}{a+b+c}S, \; z=\frac{c}{a+b+c}S.$$ Данная задача соответствует случаю $%a=1, \; b=2, \; c=3.$% $$$$ Замечание. Использованное неравенство является частным случаем неравенства Минковского.

ссылка

отвечен 29 Авг '13 17:04

изменен 29 Авг '13 17:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38
×30

задан
29 Авг '13 11:50

показан
971 раз

обновлен
29 Авг '13 17:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru