Доказать, что $%l_{\infty}$% дополняемо в любом содержащем его в качестве подпространства пространстве $%(X,\|\|)$%

задан 24 Ноя '20 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
4

Надо доказать, что $%l_\infty$% является образом некоторого ограниченного проектора, действующего в $%X$%.

Рассмотрим при $%n\in\mathbb{N}$% семейство функционалов $%f_n(x)=x_n$%, $%f_n\in l_\infty^\ast$%. По теореме Хана-Банаха, найдутся функционалы $%\varphi_n\in X^{\ast}$% такие, что $%\varphi_n({l_\infty})=f_n$% и $%\|\varphi_n\|=\|f_n\|=1$%. Тогда ясно, что отображение $%Px=(\varphi_1(x),\varphi_2(x),...):X\to l_\infty$% -- линейно. При этом $%\|Px\|=\sup\limits_n|\varphi_n(x)|\leq\sup\limits_n\|\varphi_n\|\|x||\leq\|x\|$%, т.е. $%P$% -- ограничен. Далее, для всякого $%x\in l_\infty$% получаем, что: $%Px=(\varphi_1(x),\varphi_2(x),...)=(f_1(x),f_2(x),...)=(x_1,x_2,...)=x$%, поэтому, во-первых, $%l_\infty$% совпадает с образом $%P$%, и, во-вторых, $%PPx=Px$%, т.е. $%P$% -- проектор.

ссылка

отвечен 24 Ноя '20 18:38

изменен 24 Ноя '20 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×165
×10

задан
24 Ноя '20 14:57

показан
98 раз

обновлен
24 Ноя '20 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru