функциональный-анализ - Дополняемость $%l_{\infty}$%

Надо доказать, что $%l_\infty$% является образом некоторого ограниченного проектора, действующего в $%X$%.

Рассмотрим при $%n\in\mathbb{N}$% семейство функционалов $%f_n(x)=x_n$%, $%f_n\in l_\infty^\ast$%. По теореме Хана-Банаха, найдутся функционалы $%\varphi_n\in X^{\ast}$% такие, что $%\varphi_n({l_\infty})=f_n$% и $%\|\varphi_n\|=\|f_n\|=1$%. Тогда ясно, что отображение $%Px=(\varphi_1(x),\varphi_2(x),...):X\to l_\infty$% -- линейно. При этом $%\|Px\|=\sup\limits_n|\varphi_n(x)|\leq\sup\limits_n\|\varphi_n\|\|x||\leq\|x\|$%, т.е. $%P$% -- ограничен. Далее, для всякого $%x\in l_\infty$% получаем, что: $%Px=(\varphi_1(x),\varphi_2(x),...)=(f_1(x),f_2(x),...)=(x_1,x_2,...)=x$%, поэтому, во-первых, $%l_\infty$% совпадает с образом $%P$%, и, во-вторых, $%PPx=Px$%, т.е. $%P$% -- проектор.