Я абсолютно не знаю, как решить эту задачу.

Найти ортонормированную систему, которая получается в результате применения ортогонализации Грама-Шмидта к системе $$e^{int}, n \in Z$$ в пространстве $$W_2^1[-π,π]$$ Эта система – ортонормированный базис в этом пространстве?

задан 26 Ноя '20 22:59

1

@AntonStudent11, какой тут Грам-Шмидт, если система уже ортогональна? Её нужно только пронормировать: найдите нормы и поделите на них. Базисом это не будет.

(27 Ноя '20 5:26) caterpillar

Почему она уже ортогнальна? Меня пугает тут пространство Соболева прежде всего

(27 Ноя '20 17:18) AntonStudent11

Ну, Вы знаете скалярное произведение в этом пространстве? Возьмите две разные функции из системы и перемножьте.

(27 Ноя '20 17:21) caterpillar

Получилось вот как: (по действиям) $$1) \int {e^{int}dt} = \frac {1} {in} e^{int}$$

$$2) \int {e^{int}\cos{mt}dt} = \frac {1} {2} \left (\int {e^{int}e^{imt}dt} + \int {e^{int}e^{-imt}dt} \right) = \frac {1} {2} \left(\frac {1} {i(n+m)} e^{it(m+n)} + \frac{1}{i(n-m)}e^{it(n-m)} \right)$$

(28 Ноя '20 0:17) AntonStudent11

$$3) -i\int{\sin{mt}e^{int}dt} = -\frac{1}{2}\int{e^{(n+m)it}dt} +\frac{1}{2} \int{e^{(n-m)it}dt} = -\frac{1}{2}\frac{1}{n+m}e^{it(n+m)} + \frac{1}{2}\frac{1}{i(n-m)} e^{it(n-m)}$$ Итого скалярное произведение $$(e^{int}, e^{imt}) = \frac{1}{in}e^{int} + \frac{n}{n-m}e^{it(n-m)}$$

(28 Ноя '20 0:17) AntonStudent11

Нет, я невнимательно посмотрел на формулу скалярного произведения, но всё равно не ноль получается, а очень странное $$(n + m) \int {e^{it(n-m)}dt}|_{-\pi}^{\pi}$$

Наверное, я опять где-то ошибся

(28 Ноя '20 1:08) AntonStudent11

@AntonStudent11: а разве тут не должны быть определённые интегралы в пределах от -п до п? И зачем отдельно домножать на косинусы и синусы?

(28 Ноя '20 1:19) falcao

@falcao да, должны быть, я просто не стал досчитывать. Синусы и косинусы это запись e^x сопряжённого

(28 Ноя '20 1:25) AntonStudent11

@AntonStudent11: проще ведь сразу с экспонентами работать -- зачем их выражать через косинусы и синусы?

Если n не равно m, то от экспоненты получается 2п-периодическая первообразная. Значения на концах равны, то есть будет 0.

(28 Ноя '20 1:28) falcao

@falcao я выражаю их через косинусы и синусы для сопряжения, а потом наоборот выражаю синусы и косинусы через экспоненты

(28 Ноя '20 1:31) AntonStudent11

В смысле, как можно работать сразу с экспонентами?

(28 Ноя '20 1:32) AntonStudent11

У нас же скалярное произведение равно

$$(e^{int}, e^{imt}) = \int_{[-\pi,\pi]}{e^{int}\overline{e^{imt}}}d\mu + \int_{[-\pi,\pi]}{(e^{int})'\overline{(e^{imt}})'}d\mu$$

(28 Ноя '20 1:55) AntonStudent11

@AntonStudent11: я так понимаю, что под знаком интеграла будут экспоненты с какими-то коэффициентами. Первообразная от e^{ikt} при k не равном нулю даст равные значения на концах. То есть получится 0.

У Вас выше был написан интеграл от -п до п, и после этого надо применить формулу Ньютона - Лейбница.

(28 Ноя '20 3:07) falcao
1

@AntonStudent11, сопряжение от мнимой экспоненты -- это мнимая экспонента в противоположной степени. Зачем городить огород с косинусами? Считать интегралы надо непосредственно от экспонент и подставлять верхний и нижний пределы, получая ноль.

(28 Ноя '20 6:34) caterpillar
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431
×37

задан
26 Ноя '20 22:59

показан
115 раз

обновлен
28 Ноя '20 6:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru