|
Рассмотрим такое уравнение $$-y''+q(x)y = \lambda y$$ где $% x\in [0,\pi]$%. Обозначим через $%C(x), S(x), \varphi(x)$% -- решения задач Коши для этого уравнения: $%C(0) = 1, C'(0) = 0$%, $%S(0)=0, S'(0) = 1$%, $%\varphi(0) = 1, \varphi'(0) = h$%. Пусть $%\varphi_0$% -- решение уравнения того же вида, только с другим потенциалом $$-y''+q_0(x)y = \lambda y$$ и $%\varphi_0(0) = 0, \varphi_0'(0) = h_0$%. Мне надо понять, почему $%\varphi_0$% удовлетворяет такому интегральному уравнению $$\varphi_{0}(x)=\varphi(x)+\left(h_{0}-h\right) S(x)+\int_{0}^{x} g(x, t)\left(q_{0}(t)-q(t)\right) \varphi_{0}(t) d t,$$ где $%g(x,t) = C(t)S(x)-C(x)S(t)$%. Откуда это можно получить? Метод вариации постоянных? Если да, то подскажите, для какого уравнения его применять? задан 27 Ноя '20 18:59 
AlexMath |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
27 Ноя '20 18:59
показан
376 раз
обновлен
28 Ноя '20 6:49
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
@AlexMath: наверное, это должно проверяться подстановкой значений чисел и интегрированием. То есть значения в нуле совпадают, и производные тоже совпадают. Но меня пока вот что смущает: тут вроде есть связь между S и ф, то есть ф(x)-hS(x) имеет нулевое значение в нуле и нулевую производную там же, и тогда это тождественно нулевая функция. Почему это не отмечено? Или я что-то упустил?
@falcao: извините, это я ошибся, ф(0)=1 должно быть, сейчас исправлю. Мне бы хотелось не просто проверить, а понять какой логикой автор руководствовался, когда это написал. В книге сказано: "нетрудно проверить дифференцированием". Там еще сказано, что функция g это функция Грина задачи $%-y''+q(x)y-\lambda y = f$% при y(0)=y'(0)=0.
@AlexMath: то, что проверять надо дифференцированием -- мне такая идея казалась самой естественной -- при том, что я в этих вопросах не специалист. Насчёт логики точно не могу сказать. Возможно, решали какими-то методами типа вариации постоянной, пришли к формулам определённого вида, и уже знали вид решения. Тогда при изложении его проще предъявить, проверяя дифференцированием, а не выводить сложным путём. Но это у меня на уровне предположения.
@AlexMath, раз предлагают проверить дифференцированием, то и думать нечего. А вообще, похоже на то, что тут изначально было неоднородное уравнение с неоднородными граничными условиями, которое разбивается на три задачи -- каждая только с одной неоднородностью. Сумма решений этих задач даёт решение исходной задачи.