|
В последние дни в форуме сразу на нескольких темах "бушует" обсуждение вопроса о том, что такое множество. Для меня оно было очень полезным, я многое переосмыслила благодаря высказываниям участников, особенно Андрея Юрьевича (коему отдельный респект и уважуха (в смысле баллы уважения)).
Еще немного о методике преподавания. Когда рассказываешь о множествах на первом курсе (математикам, физикам, а тем более - гуманитариям), конечно, надо ограничиться наивной теорией множеств. При этом не следует говорить, что у элементов множества должно быть "общее свойство", так как студенты (еще более наивные, чем теория), поймут это слишком буквально. Реплика в сторону о "плохих" правильных определениях. Иногда совершенно точное определение не имеет защиты от ... (ну, вы знаете кого). Например, одна дама, рассказывая школьникам о топологии, на полном серьезе утверждала, что сфера не является связным множеством (sic!), так как по ней нельзя проложить ни одной ломаной. Ссылалась она на определение Колмогорова, что "открытое множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, лежашей внутри множества". задан 21 Фев '12 22:40 
DocentI |
|
Уважаемая Ирина! Большое спасибо за очень интересное обсуждение темы. Т.к. дискуссия продолжилась и дала дополнительную пищу для размышлений и выводов, хотелось бы сформулировать то, что я думаю по этому поводу на данный момент. Итак, аксиоматику теории множеств можно построить следующим образом.
Изложенный подход позволит избежать парадоксов, типа парадокса Рассела, а также поможет рассматривать с теоретико-множественной точки зрения различные структуры данных, появившееся и с большой скоростью появляющееся на нынешнем информационно-компьютерном этапе развития нашего общества. Прошу коллег высказать свои соображения и замечания. отвечен 24 Фев '12 15:29 
Андрей Юрьевич А что со структурами данных? Там тоже появились парадоксы?
(24 Фев '12 15:42)
DocentI
@Андрей Юрьевич: я написал довольно длинный текст по поводу Вашего ответа. Думаю, имеет смысл не размещать его здесь, а сделать отдельную новую запись, что я сейчас и осуществлю (это будет первая из моих собственных записей на форуме). Необходимые ссылки я там приведу.
(6 Апр '13 0:26)
falcao
|
|
Наверное, все это хорошо для преодоления парадоксов. К аксиоматической теории множеств (и вообще к основаниям математики) я отношусь, как к балету: восхищаюсь, но не интересуюсь. Как-то нет реальной необходимости. А эта теория Ваша (или в вашем изложении) или общепринятая (в узких кругах ;-) )? Я, кажется, слышала, что аксиоматику придумали не одну. Одно могу сказать точно: студентам я такой подход давать не буду, мне и самой-то он трудноват. И пустое множество жалко: оставьте хоть какой-нибудь его аналог, чтобы "не портить" формулы комбинаторики )). Тем более, что в приложениях обычно выделяется конкретный универсум, так что до парадоксов дело не доходит. ;-) Можно ли у лысого разделить волосы пробором? отвечен 24 Фев '12 15:40
DocentI Нет, Ирина, это не общепринятая аксиоматика. Более того, я ее вот так полностью сформулировал только сейчас, в процессе дискуссии с Вами. Так что и обкатать ее сначала хотелось бы на Вас и на других участниках форума. Что касается формул комбинаторики, то на них никто и не посягает: 2^n - это ведь с учетом пустого множества как элемента булеана.
(24 Фев '12 18:51)
Андрей Юрьевич
?? Когда я Вас прямо спросила, сколько элементов в $%\{\emptyset, A\}$%, Вы сказали, что один! А ведь булеан одноэлементного множества A имеет именно такой вид.
(24 Фев '12 20:45)
DocentI
Пожалуй, по поводу пустого множества Вы правы. Я снимаю вторую часть п.9. Действительно, булеаны пустого множества должны быть отождествлены с натуральными числами. Собственно, это и есть естественный способ определения натурального числа (хотя это и порождение их из "ничто"). Но тогда, может быть, лучше для студентов вместо {ф}, {ф,{ф}} писать сразу соответствующее число, чтобы особо их не пугать?
(26 Фев '12 2:12)
Андрей Юрьевич
Что касается функциональности аксиоматики. Т.к. все операции с множествами остаются без изменений, то функциональность не изменяется. Отличие от ZFС заключается в том, что базовым считается не понятие множества с неопределяемым отношением принадлежности,а понятие элемента - более, как мне кажется, естественное с точки зрения интуитивного восприятия. Далее, утверждается, что не из любых элементов можно составить множество - нужно их сначала поименовать и/или снабдить свойствами. Отношение принадлежности становится при этом определяемым в соответствии с п.6.
(26 Фев '12 2:37)
Андрей Юрьевич
Да, с ZFC нужно сравнивать, это большая работа, но по многим позициям эквивалентность просматривается.
(26 Фев '12 2:41)
Андрей Юрьевич
Что касается структур данных - там нет парадоксов, просто, как мне кажется, моя аксиоматика лучше коррелирует с принципами объектно ориентированного программирования, чем стандартная аксиоматика.
(26 Фев '12 2:46)
Андрей Юрьевич
Ну, студентам я про аксиоматику вообще не рассказываю (особенно вечерникам), задания - так, для тренировки формального мышления.
(26 Фев '12 10:41)
DocentI
показано 5 из 7
показать еще 2
|