В последние дни в форуме сразу на нескольких темах "бушует" обсуждение вопроса о том, что такое множество. Для меня оно было очень полезным, я многое переосмыслила благодаря высказываниям участников, особенно Андрея Юрьевича (коему отдельный респект и уважуха (в смысле баллы уважения)).
Попытаюсь резюмировать свои новые (и старые) знания.

  1. Наивная теория множеств. Кантор говорил: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)"
    Итак, вводятся неопределяемые понятия множество, элемент и соотношение принадлежит. Об элементах сказано только, что они "хорошо различимы", никаких общих свойств у них не требуется.
    Я бы, пожалуй, сказала, что "хорошо определено" само соотношение принадлежит, т.е. каждый объект либо точно принадлежит множеству, либо точно нет (а остальное от Л.Заде ;-)))
  2. Современная теория множеств. Множества мыслятся не актуальными, а потенциальными. Т.е. при необходимости конкрентное множество можно "сконструировать" из уже существующих элементов согласно некоторому правилу (или свойству? Этот термин мне нравится меньше, сликом многозначен).
    О природе и источнике элементов в общей теории ничего не говорится - это забота приложений. Но они точно все не образуют множества, т.к. это привело бы к известным парадоксам.

Еще немного о методике преподавания. Когда рассказываешь о множествах на первом курсе (математикам, физикам, а тем более - гуманитариям), конечно, надо ограничиться наивной теорией множеств. При этом не следует говорить, что у элементов множества должно быть "общее свойство", так как студенты (еще более наивные, чем теория), поймут это слишком буквально.

Реплика в сторону о "плохих" правильных определениях. Иногда совершенно точное определение не имеет защиты от ... (ну, вы знаете кого). Например, одна дама, рассказывая школьникам о топологии, на полном серьезе утверждала, что сфера не является связным множеством (sic!), так как по ней нельзя проложить ни одной ломаной. Ссылалась она на определение Колмогорова, что "открытое множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, лежашей внутри множества".
Слово "открытое" она благополучно опустила - вот и результат. А ведь для определения связности "ломаности" ломаной совершенно не требуется (а в нелинейном пространстве ее и нельзя определить).
Впрочем, та же дама утверждала, что "множество называется открытым, если оно содержит все свои внутренние точки"! Но это уже ее собственное творчество, никто ей не помогал... Чего вам не желаю ;-)))

задан 21 Фев '12 22:40

изменен 22 Фев '12 13:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Уважаемая Ирина! Большое спасибо за очень интересное обсуждение темы. Т.к. дискуссия продолжилась и дала дополнительную пищу для размышлений и выводов, хотелось бы сформулировать то, что я думаю по этому поводу на данный момент. Итак, аксиоматику теории множеств можно построить следующим образом.

  1. Есть неопределяемое понятие "элемент", совпадающее с философским понятием качественно определенного объекта.
  2. Есть некий "запас" всех известных на данный момент элементов, который назовем глобальной совокупностью.
  3. Среди элементов глобальной совокупности есть простейшие элементы (про которые сказать больше нечего) и особый пустой элемент, совпадающий с философским понятием "ничто".
  4. Между элементами глобальной совокупности определены отношения присвоения имени (именования) и присвоения свойств. Например, элементу ТОЧКА можно поставить в соответствие слова "точка" и "point", которые тоже являются элементами глобальной совокупности. В результате получается "именованный элемент со свойствами" или "неоднородная совокупность" (неоднородная в том смысле, что она содержит элементы разной природы). Будучи сформированными именованные элементы со свойствами включаются в глобальную совокупность.
  5. Между именованными элементами со свойствами определены отношения совпадения/несовпадения, а также частичного совпадения какого-либо свойства. Совпадающее свойство называется общим. Свойство, которое может частично совпадать у разных элементов называется общим нечетким свойством этих элементов.
  6. Для именованных элементов со свойствами определена операция формирования МНОЖЕСТВА - (однородной совокупности), заключающаяся либо в указании общих свойств элементов, либо в присвоении всем элементам дополнительного имени. В множество не могут быть включены элементы, у которых нет ни имени, ни свойств. Будучи сформированными, множества включаются в глобальную совокупность в качестве новых элементов.
  7. Для именованных элементов со свойствами определена операция формирования НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА, заключающаяся в указании для элементов некоторого сформированного множества общего нечеткого свойства.
  8. Пустой элемент имеет уникальное имя "пустое множество" (вернее уникальную совокупность имен в виде слов на разных языках и графических обозначений ). Такой элемент считается входящим в любое множество.
  9. Для множества определено понятие подмножества в соответствии с обычным определением. Пустое множество не отличимо от любого своего подмножества.
  10. Для множества определены операции объединения, пересечения и разности в соответствии с обычными определениями.

Изложенный подход позволит избежать парадоксов, типа парадокса Рассела, а также поможет рассматривать с теоретико-множественной точки зрения различные структуры данных, появившееся и с большой скоростью появляющееся на нынешнем информационно-компьютерном этапе развития нашего общества. Прошу коллег высказать свои соображения и замечания.

ссылка

отвечен 24 Фев '12 15:29

А что со структурами данных? Там тоже появились парадоксы?

(24 Фев '12 15:42) DocentI

@Андрей Юрьевич: я написал довольно длинный текст по поводу Вашего ответа. Думаю, имеет смысл не размещать его здесь, а сделать отдельную новую запись, что я сейчас и осуществлю (это будет первая из моих собственных записей на форуме). Необходимые ссылки я там приведу.

(6 Апр '13 0:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Наверное, все это хорошо для преодоления парадоксов. К аксиоматической теории множеств (и вообще к основаниям математики) я отношусь, как к балету: восхищаюсь, но не интересуюсь. Как-то нет реальной необходимости.

А эта теория Ваша (или в вашем изложении) или общепринятая (в узких кругах ;-) )? Я, кажется, слышала, что аксиоматику придумали не одну.

Одно могу сказать точно: студентам я такой подход давать не буду, мне и самой-то он трудноват. И пустое множество жалко: оставьте хоть какой-нибудь его аналог, чтобы "не портить" формулы комбинаторики )). Тем более, что в приложениях обычно выделяется конкретный универсум, так что до парадоксов дело не доходит.

;-) Можно ли у лысого разделить волосы пробором?
;-)- Есть ли у крокодила крылья? - Есть, только их количество равно 0.

ссылка

отвечен 24 Фев '12 15:40

изменен 24 Фев '12 15:50

Нет, Ирина, это не общепринятая аксиоматика. Более того, я ее вот так полностью сформулировал только сейчас, в процессе дискуссии с Вами. Так что и обкатать ее сначала хотелось бы на Вас и на других участниках форума. Что касается формул комбинаторики, то на них никто и не посягает: 2^n - это ведь с учетом пустого множества как элемента булеана.

(24 Фев '12 18:51) Андрей Юрьевич

?? Когда я Вас прямо спросила, сколько элементов в $%\{\emptyset, A\}$%, Вы сказали, что один! А ведь булеан одноэлементного множества A имеет именно такой вид.
Кстати, я посмотрела стандартную аксиоматику. Она, по крайней мере, выглядит "математически". А Ваша - чисто философская. Будет ли она алгоритмична (функциональна), т.е. можно ли на ее основе делать четкие выводы?
И как она соотносится с системой множеств в аксиоматике ZFC? По крайней мере, там $%\{\emptyset\}$% содержит 1 элемент, а $%\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$% - 2

(24 Фев '12 20:45) DocentI

Пожалуй, по поводу пустого множества Вы правы. Я снимаю вторую часть п.9. Действительно, булеаны пустого множества должны быть отождествлены с натуральными числами. Собственно, это и есть естественный способ определения натурального числа (хотя это и порождение их из "ничто"). Но тогда, может быть, лучше для студентов вместо {ф}, {ф,{ф}} писать сразу соответствующее число, чтобы особо их не пугать?

(26 Фев '12 2:12) Андрей Юрьевич

Что касается функциональности аксиоматики. Т.к. все операции с множествами остаются без изменений, то функциональность не изменяется. Отличие от ZFС заключается в том, что базовым считается не понятие множества с неопределяемым отношением принадлежности,а понятие элемента - более, как мне кажется, естественное с точки зрения интуитивного восприятия. Далее, утверждается, что не из любых элементов можно составить множество - нужно их сначала поименовать и/или снабдить свойствами. Отношение принадлежности становится при этом определяемым в соответствии с п.6.

(26 Фев '12 2:37) Андрей Юрьевич

Да, с ZFC нужно сравнивать, это большая работа, но по многим позициям эквивалентность просматривается.

(26 Фев '12 2:41) Андрей Юрьевич

Что касается структур данных - там нет парадоксов, просто, как мне кажется, моя аксиоматика лучше коррелирует с принципами объектно ориентированного программирования, чем стандартная аксиоматика.

(26 Фев '12 2:46) Андрей Юрьевич

Ну, студентам я про аксиоматику вообще не рассказываю (особенно вечерникам), задания - так, для тренировки формального мышления.
Может, для программирования Ваша аксиоматика и лучше. Но, чтобы освоить ее, надо иметь солидный опыт философских рассуждений. У меня он есть, а вот у большинства программистов - вряд ли.
Под "функциональностью" я понимаю не действия с множествами, а проверку того, что является множеством и какие операции корректны - в чем, собственно, и цель аксиоматики. Конечно, для неопределяемого понятия полной строгости не будет... И все же мне милее более формальные подходы.

(26 Фев '12 10:41) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×333
×13

задан
21 Фев '12 22:40

показан
1130 раз

обновлен
6 Апр '13 0:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru