Показать, что если $%F$% – свободная группа с образующими $%x_1,x_2,\ldots,x_n$% и $%U^kV^m\approx V^mU^k$%, то $%UV\approx VU$%. [Указание. Рассмотреть $%V^{-m}U^kV^m$% и $%U^{-1}V^mU$% и использовать задачу: Показать, что если $%U$% и $%V$% несократимы и $%U^k\approx V^k$%, $%k$% – целое $%\neq0$%, то $%U=V$%.]

задан 3 Сен '13 15:32

изменен 3 Сен '13 17:48

falcao's gravatar image


174k1531

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это верно при условии, что числа $%k,m$% -- ненулевые целые.

Из условия $%U^kV^m\approx V^mU^k$% следует, что $%V^{-m}U^kV^m\approx U^k$% (домножили слева на $%V^{-m}$%). С другой стороны, $%(V^{-m}UV^m)^k\approx V^{-m}U^kV^m$%, откуда следует, что $%U^k\approx(V^{-m}UV^m)^k$%. Применяя результат предыдущей задачи, с учётом $%k\ne0$%, приходим к условию $%U\approx V^{-m}UV^m$%. Домножая слева на $%V^m$%, получаем $%V^mU\approx UV^m$%, что равносильно условию $%U^{-1}V^mU\approx V^m$%, а потому и условию $%(U^{-1}VU)^m\approx V^m$%. Снова используя результат предыдущей задачи (для $%m\ne0$%), приходим к выводу $%U^{-1}VU\approx V$%, а это равносильно тому, что требовалось доказать, то есть $%UV\approx VU$%.

Замечание. Фактически, здесь использовано то, что если в группе извлечение корней однозначно, то степени элементов с ненулевыми показателями могут коммутировать только тогда, когда коммутируют сами элементы. Это, если я правильно помню, было впервые отмечено П.Г.Конторовичем в конце 40-х годов.

ссылка

отвечен 3 Сен '13 18:06

изменен 3 Сен '13 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×526

задан
3 Сен '13 15:32

показан
1498 раз

обновлен
3 Сен '13 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru