комбинаторика - Комбинаторная теория групп.

Насколько я понимаю, речь идёт о серии упражнений из книги Карраса, Магнуса и Солитэра.

Здесь надо опереться на предыдущие факты. Прежде всего, для любого неединичного элемента свободной группы существует его корень наибольшей степени. Это значит, что для всякого $%g\ne1$% существует такой $%h\in F$% и такое натуральное $%m$%, что $%g=h^m$%, и элемент $%h$% не представим в виде степени какого-либо элемента с натуральным показателем, большим $%1$%.

Далее, надо использовать тот факт, что перестановочные элементы свободной группы являются степенями одного и того же элемента.

Дальнейшее рассуждение выглядит так. Рассмотрим произвольный неединичный элемент $%g\in F$%, выбирая для него $%h$% и $%m$%, как это было сделано выше. Предположим, что элемент $%a\in F$% принадлежит нормализатору элемента $%g$%. Это означает, что $%ag=ga$% в группе, то есть $%ah^m=h^ma$%. Согласно доказанному здесь, элементы $%a$% и $%h$% перестановочны. Тогда, согласно сказанному выше, они являются степенями какого-то элемента $%b$% с целочисленными показателями: $%a=b^s$%, $%h=b^t$%. Утверждается, что $%t=\pm1$%. В самом деле, $%t\ne0$%, так как $%h$% неединичен (поскольку его степенью является неединичный элемент $%g$%). Далее, невозможен случай $%|t|\ge2$%, так как в противном случае $%h$% можно было бы представить в виде степени элемента с натуральным показателем $%|t| > 1$%. Следовательно, $%h=b^{\pm1}$%, откуда $%a=h^{\pm s}$%, то есть $%a$% является степенью $%h$%.

Рассуждение из предыдущего абзаца показывает, что всякий элемент нормализатора $%g$% принадлежит циклической подгруппе с образующим элементом $%h$%. Обратное очевидно, так как любые степени одного и того же элемента коммутируют. Тем самым, нормализатор элемента $%g$% -- циклическая группа.