На днях мне встретилась интересная геометрическая задача. Я предлагаю её здесь в слегка переформулированном виде.

Круг вписали в квадрат и разделили его двумя диаметрами на четыре равные части. Можно ли переместить эти части так, чтобы они попарно не имели общих точек, а также не имели общих точек с границей квадрата?

задан 4 Сен '13 0:38

Перемещать внутри квадрата?
Диаметры произвольные?

(4 Сен '13 1:57) behemothus

После перемещений всё должно оказаться внутри квадрата. Диаметры перпендикулярны, потому что все четыре части -- равные. Иными словами, четыре четверти круга нужно расположить строго внутри квадрата, чтобы части попарно не пересекались.

(4 Сен '13 2:03) falcao

Т.е. не перемещать (двигать), а именно располагать?

(4 Сен '13 2:15) behemothus

Да, имелось в виду, что они должны быть так расположены. Что происходит в процессе движений, не важно.

(4 Сен '13 2:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Да, вполне возможно. Пусть радиус круга равен 1, центр квадрата расположен в точке $%(0,0)$%, ребра квадрата расположены параллельно осям координатной сетки.

  1. Расположить так
  2. Отодвинуть все части от стенки на малое расстояние $%\Delta$%
  3. Повернуть левую верхнюю против часовой стрелки на малый угол $%\alpha$% и переместить таким образом, чтоб ее уголки оказались в точках $%(-1+\Delta, -1+2\Delta+2\cos\alpha)$%, $%(-1+\Delta+\sin\alpha, -1+2\Delta+\cos\alpha)$%, $%(-1+\Delta+\sin\alpha+\cos\alpha, -1+2\Delta+\sin\alpha+\cos\alpha)$%
  4. Произвести симметричное действие с правой нижней частью круга

Докажем, что все требования выполняются для левой верхней части. Остальное будет следовать из симметрии.

  1. Расположение данной части круга было выбрано так, чтоб она находилась на расстоянии $%\Delta$% от левой нижней части и от левого ребра квадрата
  2. Чтоб не было касания с верхним ребром квадрата, должно выполняться условие: $$(-1+2\Delta+\cos\alpha)+1\lt1$$ Поэтому пусть $$(-1+2\Delta+\cos\alpha)+1=1-\Delta$$ $$\Delta={{1-\cos\alpha}\over3}$$ Тогда координата одного из углов - $%(-1+\Delta+\sin\alpha, -\Delta)$%
  3. Чтоб не было касания с правой нижней частью круга, фигура не должна содержать точку $%(0,0)$% (в силу симметрии), т.е. должно выполняться условие: $$-\Delta-(-1+\Delta+\sin\alpha)\tan\alpha\gt0$$ $$\Delta\cos\alpha+(-1+\Delta+\sin\alpha)\sin\alpha\lt0$$ $${{1-\cos\alpha}\over3}\cos\alpha+(-1+{{1-\cos\alpha}\over3}+\sin\alpha)\sin\alpha\lt0$$ Для малых $%\alpha$% данное неравенство выполняется
  4. Чтоб не было касания с правой верхней частью круга, должно выполняться условие: $$(1-\Delta-(-1+\Delta+\sin\alpha))^2+(1-\Delta-(-\Delta))^2\gt4$$ $$(2-2\Delta-\sin\alpha)^2\gt3$$ Для малых $%\Delta$% и $%\alpha$% данное неравенство выполняется

Ч.т.д.

ссылка

отвечен 4 Сен '13 2:18

изменен 4 Сен '13 3:22

Вот бы еще вспомнить как сюда рисунки вставлять...

(4 Сен '13 2:19) chameleon

А почему после сдвига левой нижней части она не будет задевать повёрнутую левую верхнюю? Тут нужны, наверное, какие-то вычисления, чтобы это было убедительно. Рисунки я, к сожалению, не умею вставлять. Можно посмотреть, как это делается в каком-нибудь из вопросов, где есть рисунки. Текст можно увидеть через правку.

(4 Сен '13 2:33) falcao

Привел вычисления.

(4 Сен '13 3:23) chameleon

Расположить так

Этого достаточно ))). Я тоже вчера это решение нашел, но уже написать не смог. Тут идея в том, что если части не касаются друг друга, то пускай касаюятся сторон квадрата - всегда найдётся эпсилон, на который можно отодвинуть от сторон. Дальнейшее очевидно.

(4 Сен '13 10:17) behemothus

@chameleon: я хотел бы разобраться в предложенном Вами решении, поэтому с Вашего позволения буду задавать вопросы по ходу чтения. Пункты 1 и 2 понятны. Пункт 3 пока не могу как следует истолковать. Если отодвинули левую верхнюю часть от стенок на расстояние $%\Delta$%, то точка $%(-1,-1)$% перешла в $%(-1+\Delta,-1+\Delta)$%. Что делается дальше? Относительно какого центра делается поворот? Почему указаны координаты трёх точек, каков их смысл?

(4 Сен '13 14:56) falcao

"Относительно какого центра делается поворот?"
Не важно. Делается поворот + параллельный перенос. Виноват, написал не достаточно ясно. Какой именно перенос - указано далее, написаны координаты углов фигуры.
"Почему указаны координаты трёх точек, каков их смысл?"
Три точки - углы фигуры. Написано в ответе.
"Если отодвинули левую верхнюю часть ..."
Да, именно так. Только указанные Вами координаты относятся к левой нижней части. Координаты по y - снизу вверх.

(4 Сен '13 15:30) chameleon

Я это понимаю так.
~1. Фигуры второй и четвертой четвертей сдвигаются вовнутрь в горизонтальном направлении на бесконечно малое.
~2. Они же сдвигаются вовнутрь в вертикальном направлении на бесконечно малое третьего порядка.
~3. Они же поворячиваются против часовой стрелки на бесконечно малое втрого порядка.
~4. Две доселе неподвижные фигуры сдвигаются к центру на бесконечно малое четвертого порядка.

(4 Сен '13 16:21) behemothus

@chameleon: сейчас я понял, что Вы имели в виду, и дочитал написанное до конца. Но мне кажется, что тут требуется ещё одна проверка, относящаяся к возможному соприкосновению (сдвинутой) левой верхней части и (сдвинутой) левой нижней. Это вроде бы никак из соображений симметрии не следует.

(4 Сен '13 16:22) falcao

Координаты изначально были выбраны на расстоянии от левой нижней части. См. п. 1.

(4 Сен '13 16:25) chameleon

@chameleon: мне кажется, в конце рассуждения было уместно сказать, что отсутствие касания двух оставшихся "левых" частей следует из замечания пункта 1 второго списка. В противном случае очень трудно догадаться: то ли случай забыли разобрать, то ли посчитали очевидным. Так или иначе, решение верное, и я его принимаю. На всякий случай даю ссылку на тот источник, из которого я узнал об этой задаче. Там есть рисунок с другим решением.

(4 Сен '13 16:51) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

Возникает интересное продолжение. В каком наименьшем квадрате модно без наложения разместить указанные части.

Пожалуй это стоит оформить как отдельную задачу.
http://math.hashcode.ru/questions/21066/

И еще интересно обобщение на 3 части. Похоже, там не получится.

Случаи двух и более четырех частей очевидны.

ссылка

отвечен 4 Сен '13 16:26

изменен 4 Сен '13 16:51

Я сейчас напишу в Вашем новом вопросе о том, что мне известно по этому поводу.

(4 Сен '13 16:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,325

задан
4 Сен '13 0:38

показан
2704 раза

обновлен
4 Сен '13 16:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru