1. Является ли отношение «быть нормальной подгруппой» транзитивным? Привести пример.
  2. Найти все нормальные подгруппы в группе A4.
  3. Пусть G — бесконечная циклическая группа с порождающим элементом a, H — ее собственная подгруппа с порождающим элементом a^n, n>1. Доказать, что группа G изоморфно отображается на группу H.

задан 5 Дек '20 9:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Не является. Простейший пример такой: берём группу D4. В ней есть подгруппа порядка 4 из E, центральной симметрии, и двух осевых относительно диагоналей. Она имеет индекс 2, то есть нормальна. В ней есть подгруппа порядка 2, состоящая из E и одной из симметрий. В подгруппе из 4 элементов она нормальна. Но во всей группе -- уже нет, так как обе диагональные осевые симметрии сопряжены.

2) Группа A4 имеет порядок 12. Её строение таково: элемент e, три произведения пар транспозиций вида (ab)(cd), которые вместе с e образуют подгруппу V4. Она нормальна в A4. Помимо этого, в A4 есть 8 тройных циклов. Они образуют два класса сопряжённых элементов по 4 штуки в каждом. Кроме V4, в группе есть единичная нормальная подгруппа, а также сама A4. Других нет, так как при наличии тройного цикла, надо брать весь его класс, а тогда в подгруппе не получится число элементов, делящее 12.

3) Здесь обе группы -- бесконечные циклические, поэтому они изоморфны. Это очевидно. Изоморфизм задаётся правилом a^k -> a^{kn} для любого целого k.

ссылка

отвечен 5 Дек '20 13:19

Благодарю вас за еще один ответ!

(8 Дек '20 10:13) максим432
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,100
×1,238
×83
×34

задан
5 Дек '20 9:25

показан
527 раз

обновлен
8 Дек '20 10:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru