Помогите пожалуйста. пусть F- свободная группа с образующими x1,..xn. Показать что произвольный элемент из F имеет лишь конечное множество корней. (Из учебника "Комбинаторная теория групп Магнус В., Каррас А., Солитэр") Заранее благодарен.)

задан 4 Сен '13 16:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Постараюсь подробно описать сам "механизм" возведения в степень, а также извлечения корней. Пусть дано непустое приведённое слово. Его можно однозначно записать в виде $%URU^{-1}$%, где слово $%R$% циклически приведено, то есть его первая буква не обратна последней. (Слово $%U$% при этом может быть пустым, а $%R$% всегда непусто.) Этот факт следует из того, что если бы $%R$% имело форму $%aSa^{-1}$%, то мы просто заменили бы $%U$% на $%Ua$%, и $%R$% на $%S$%. Постепенно удлиняя $%U$% и укорачивая $%R$%, можно прийти к желаемому результату. Слово $%R$% будет непустым по очевидной причине: в противном случае исходное слово будет иметь вид $%UU^{-1}$%, но оно пусто при пустом $%U$% и не приведено при непустом $%U$%.

Тот факт, что $%R$% циклически приведено, равносилен тому, что все степени $%R$% будут приведены, так как на "стыках" $%R$% и $%R$% не будет возникать сокращений. Тогда, если мы возведём в $%m$%-ю степень слово $%URU^{-1}$%, где $%m\in{\mathbb N}$%, то после очевидных сокращений $%U^{-1}$% с $%U$% мы получим слово $%UR^{m}U^{-1}$%. Оно несократимо по той причине, что на "стыках" $%U$% с $%R$%, равно как и на "стыках" $%R$% с $%U^{-1}$% сокращений нет, как их не было ранее.

Этим мы описали процедуру возведения слова в степень. Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть нас интересуют корни из неединичного элемента, который мы аналогичным образом запишем в виде приведённого слова $%ABA^{-1}$%, где $%B$% циклически несократимо. Выше говорилось, что такая форма единственна. Их этого следует, что если предыдущее слово $%URU^{-1}$% было корнем $%m$%-й степени из нашего, что должно выполняться графическое (то есть побуквенное) равенство приведённых слов $%UR^mU^{-1}$% и $%ABA^{-1}$%, причём в силу единственности оказывается, что $%U=A$%, $%R^m=B$%.

Это описывает все корни из заданного слова $%ABA^{-1}$%. Вопрос теперь заключается в том, при каких $%m$% это возможно для заданного слова $%B$%. Здесь сразу можно сказать, что поскольку $%B=R^m$%, то длина слова $%B$% равна произведению числа $%m$% на длину слова $%R$% (обращаю внимание, что слово $%B$% нам дано, а насчёт $%m$% и $%R$% мы просто исследуем кандидатов на соответствующую роль). Итак, $%L(B)=m\cdot L(R)$%, где $%L$% обозначает длину; ввиду того, что слово $%R$% непусто, его длина не меньше $%1$%, откуда вытекает неравенство $%m\le L(B)$%, ограничивающее сверху значение для показателя степени. Иными словами, мы не можем извлечь из слова $%ABA^{-1}$% корень слишком высокой степени, показатель которой превышает длину слова $%B$%. С учётом того, что извлечение корня в свободной группе однозначно (это было в предыдущих упражнениях), оказывается, что общее число корней, извлекаемых из данного слова, будет конечным -- даже если мы учитываем случай отрицательных показателей.

Чтобы завершить описание до полной ясности, заметим, что всякое непустое слово $%B$% можно однозначно представить в виде $%T^r$%, где $%T$% -- простое слово, то есть его нельзя представить в виде истинной степени (с показателем, большим $%1$%). Это представление фактически означает нахождение минимального периода слова. Например, для $%B=aba$% мы имеет $%r=1$%, $%T=aba$%; для слова $%B=abababababab$% мы имеем $%r=6$%, $%T=ab$%. В последнем случае из $%B$% (а также из $%ABA^{-1}$%) можно извлечь корень $%m$%-й степени тогда и только тогда, когда $%m$% является делителем $%r=6$%, как следует из описания, приведённого выше. Все значения корней при этом очевидным образом находятся.

ссылка

отвечен 4 Сен '13 18:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×450

задан
4 Сен '13 16:33

показан
517 раз

обновлен
4 Сен '13 18:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru