теория-групп - Комбинаторная теория групп

Здесь возможно очень много способов доказательства, основанных на разной технике. Я буду придерживаться того круга идей, который используется в книге КМС, но доказательство будет слегка отличаться.

Слова $%U$%, $%V$% можно считать приведёнными (несократимыми). Если одно из них пусто, то это лёгкий случай: тогда оно является нулевой степенью другого слова, а это второе слово есть первая степень самого себя. То есть слова будут степенями одного и того же слова. Далее будем считать оба слова непустыми. Предположим, что $%UV\approx VU$%. Тот факт, что $%U$% и $%V$% будут степенями одного элемента, будем доказывать индукцией по сумме длин слов, то есть по параметру $%L(U)+L(V)$%. Это означает, что если мы где-то встретим пару коммутирующих слов с меньшей суммой длин, но про них по предположению индукции имеем право заключить, что они обладают нужным свойством, то есть являются степенями одного элемента (с точностью до эквивалентности). Рассмотрение базы индукции при таком способе рассуждения не требуется, хотя при необходимости можно было бы разобрать случай, когда сумма длин слов равна нулю. В этом случае оба слова пусты, что уже проанализировано.

В качестве основного случая предположим, что слово $%UV$% несократимо. Тогда несократимым должно быть и слово $%VU$% по следующей причине: если в нём произвести все сокращения, то получится несократимое слово, более короткое нежели $%UV$%. Но два несократимых слова разной длины эквивалентными быть не могут.

Итак, в рассматриваемом случае слова $%UV$% и $%VU$% равны графически (то есть побуквенно). Одно из слов $%U$%, $%V$% при этом не длиннее другого. В силу симметрии, пусть $%L(U)\le L(V)$%. Тогда одно и то же слово $%UV=VU$% начинается как с $%U$%, так и с $%V$%. В частности, первые $%L(U)$% букв этого слова составляют как слово $%U$%, так и начало слова $%V$%. Это значит, что $%V$% начинается с $%U$%, то есть $%V=UW$% для некоторого слова $%W$%.

Подставим в равенство $%UV=VU$% вместо слова $%V$% произведение $%UW$%. Получится $%UUW=UWU$%. На слово $%U$% слева можно сократить, просто списав первые $%L(U)$% букв. Тогда окажется, что $%UW=WU$%, что является частным случаем эквивалентности. Слово $%U$% у нас осталось, а вместо слова $%V$% возникло слово $%W$%. Оно более короткое, так как в нём ровно на $%L(U)$% букв меньше, а $%U$% было непустым. Следовательно, к словам $%U$% и $%W$%, сумма длин которых стала меньше, мы имеем право применить индукционное предположение, заключая, что для некоторого слова $%T$% и для некоторых целочисленных показателей степени выполняются условия $%U\approx T^r$% и $%W\approx T^s$%. Отсюда следует, что $%V=UW\approx T^rT^s=T^{r+s}$% также является степенью $%T$% наряду с $%U$%. Этим разбор основного случая завершается.

Теперь рассмотрим случай, когда слово $%UV$% не является несократимым, то есть на "стыке" слов $%U$% и $%V$% возможны сокращения. Этот процесс сокращений будет идти до тех пор, пока не окажется, что на "стыке" слов отсутствуют две взаимно обратные буквы, то есть не возникает подслов ни вида $%x_ix_i^{-1}$%, ни вида $%x_i^{-1}x_i$%. При этом возможно, что одно из слов полностью сократится. Например, если $%U=x_1x_2^{-1}$%, а $%V=x_2x_1^{-1}x_3x_2$%, то в слове $%UV$% после сокращений останется конец $%x_3x_2$% слова $%V$%, а слово $%U$% полностью сократится. Такой случай мы сейчас и разберём.

Если $%U$% сокращается в произведении $%UV$% целиком, то это означает, что $%V=U^{-1}W$% для некоторого слова $%W$% (равенство здесь снова графическое). Теперь мы снова, как и в основном случае, подставим значение $%U^{-1}W$% вместо $%V$% в исходное условие $%UV\approx VU$% (заметим, что сейчас у нас равенства нет, но есть эквивалентность). Получится $%UU^{-1}W\approx U^{-1}WU$%, что после сокращений превращается в $%W\approx U^{-1}WU$%, и после домножения слева на $%U$% оказывается, что $%UW\approx WU$%. То есть слова $%U$% и $%W$% снова коммутируют. Как и в прошлый раз, сумма длин этих слов стала меньше, чем у слов $%U$% и $%V$%, на положительную величину (равную длине $%U$%). Значит, индукционное предположение применимо и здесь: $%U\approx T^r$%, $%W\approx T^s$%. Остаётся заметить, что $%V=U^{-1}W\approx T^{-r}T^s\approx T^{s-r}$% эквивалентно степени того же слова $%T$%.

Случай, когда в произведении $%UV$% полностью сокращается слово $%V$%, а не $%U$%, аналогичен только что разобранному. Можно повторить соответствующее рассуждение, а можно этого и не делать, переходя от слов $%U$% и $%V$% к обратным: $%V^{-1}U^{-1}\approx U^{-1}V^{-1}$%. Роли слов поменялись, и теперь в первом произведении полностью сокращается первый сомножитель. В этом случае слова $%V^{-1}$%, $%U^{-1}$% будут эквивалентны степеням одного слова, согласно уже доказанному. То же верно и для самих слов $%U$%, $%V$%.

Наконец, нам осталось разобрать случай, когда слово $%UV$% сократимо, и в этом произведении от каждого из сомножителей что-то остаётся после сокращений. Это значит, что приведённая форма слова $%UV$% будет начинаться с первой буквы слова $%U$%. Эту букву мы обозначим через $%a$%, где $%a=x_i^{\pm1}$% для некоторого $%i$%.

Проведём небольшое расследование на предмет того, какими буквами начинаются и оканчиваются слова $%U$% и $%V$%. Прежде всего, произведение $%VU$% обязано быть сократимым: в противном случае приведённые формы слов $%UV$% и $%VU$% имели бы разную длину. Можно также в силу симметрии считать, что в произведении $%VU$% ни одно из слов-сомножителей не сокращается полностью. Но это означает, что приведённая форма слова $%VU$% будет начинаться с первой буквы слова $%V$%. Эквивалентность слов $%UV$% и $%VU$% означает, что приведённые формы у них одинаковы. Поскольку первая из этих форм, как было сказано, начинается с $%a$%, то это же верно и для второй формы. А она начинается с первой буквы слова $%V$%, которая тем самым тоже равна $%a$%.

Вспомним теперь то, что та "стыке" слов $%U$% и $%V$% происходит сокращение. Это значит, что последняя буква слова $%U$% сокращается с буквой $%a$%, поэтому она равна $%a^{-1}$%. Аналогично, сокращение на "стыке" $%V$% и $%U$% позволяет заключить, что слово $%V$% также оканчивается буквой $%a^{-1}$%.

Подытожим информацию: слово $%U$% начинается с $%a$% и оканчивается на $%a^{-1}$%. Это разные буквы, откуда можно записать $%U=aU_1a^{-1}$% для некоторого слова $%U_1$%. Для слова $%V$% у нас были те же выводы про начальные и конечные буквы, откуда $%V=aV_1a^{-1}$% для некоторого слова $%V_1$%. Таким образом, из $%UV\approx VU$% мы после замен приходим к $%aU_1a^{-1}aV_1a^{-1}\approx aV_1a^{-1}aU_1a^{-1}$%. В результате сокращений и упрощений это даёт $%U_1V_1\approx V_1U_1$%, то есть для слов $%U_1$%, $%V_1$% мы снова имеем случай коммутирования. Но сумма длин новых слов стала ровно на $%4$% меньше, чем она была у слов $%U$% и $%V$%. Это даёт возможность воспользоваться предположением индукции, записывая $%U_1\approx T^r$%, $%V_1\approx T^s$%. Для исходных слов это даёт $%U=aU_1a^{-1}\approx aT^ra^{-1}\approx(aTa^{-1})^r$%, и аналогично $%V\approx(aTa^{-1})^s$%. Слова $%U$%, $%V$% оказались степенями слова $%aTa^{-1}$%, что завершает доказательство.