|
В таблице 25x25 на каждой клетке написан число 1 или -1. Доказать , что сумма произведений всех элементов каждой строки и каждого столбца не может быть равна нулью. задан 22 Фев '12 8:42 
ASailyan |
|
Изменим знак в одной клетке. При этом в одной строке и в одном столбце знак произведения изменится на противоположный. Тогда сумма по строкам изменится на 2, то же по столбцам. При этом к искомой сумме прибавится 0, 4 или -4. отвечен 22 Фев '12 13:52 
DocentI Ваша идеа решения мне нравится.
(25 Фев '12 14:46)
ASailyan
|
|
Доказательство проведем от противного. Допустим сумма произведений всех элементов по строкам и по столбцам равна нулью. Пусть в произведений по строкам число "-1" равно $%n $%, a число единиц равно $% к $% . Очевидно что $% n+k=25, $% а $% n $% и $% k $% неотрицательные целые числа. Тогда в произведений по столбцам число "-1" равно $% к $%, a число единиц равно $% n $%. То есть в числе всех слагаемых есть ровно 25 "-1". Значит произведение всех слагаемых будет равно "-1". С другой стороны то же самое произведение равен 1, потому что это произведение квадратов всех элементов таблицы. Полученное противоречие доказывает, что утверждение верно. отвечен 25 Фев '12 14:43
ASailyan |