В таблице 25x25 на каждой клетке написан число 1 или -1. Доказать , что сумма произведений всех элементов каждой строки и каждого столбца не может быть равна нулью.

задан 22 Фев '12 8:42

изменен 21 Июн '12 22:05

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

Изменим знак в одной клетке. При этом в одной строке и в одном столбце знак произведения изменится на противоположный. Тогда сумма по строкам изменится на 2, то же по столбцам. При этом к искомой сумме прибавится 0, 4 или -4.
Но в "начальном"состоянии, если во всех клетка 1, сумма равна 50. Поэтому при всех сменах знака она будет иметь вид 4n+2

ссылка

отвечен 22 Фев '12 13:52

Ваша идеа решения мне нравится.

(25 Фев '12 14:46) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Доказательство проведем от противного. Допустим сумма произведений всех элементов по строкам и по столбцам равна нулью. Пусть в произведений по строкам число "-1" равно $%n $%, a число единиц равно $% к $% . Очевидно что $% n+k=25, $% а $% n $% и $% k $% неотрицательные целые числа. Тогда в произведений по столбцам число "-1" равно $% к $%, a число единиц равно $% n $%. То есть в числе всех слагаемых есть ровно 25 "-1". Значит произведение всех слагаемых будет равно "-1". С другой стороны то же самое произведение равен 1, потому что это произведение квадратов всех элементов таблицы. Полученное противоречие доказывает, что утверждение верно.

ссылка

отвечен 25 Фев '12 14:43

изменен 25 Фев '12 14:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×45

задан
22 Фев '12 8:42

показан
899 раз

обновлен
21 Июн '12 22:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru