|
Задача: доказать, что последовательность функционалов $%\{f_i\}\subseteq X^{\ast}$% на банаховом пространстве $%(X,\ \|\ \|)$% $%\ast$%-слабо сходится к $%f\in X^{\ast}$%, если и только если она сильно ограничена ($%\|f_i\|< c$% при всех $%i$% для некоторого $%c>0$%) и существует всюду плотное подмножество $%A\subseteq X,\ f_i(a)\rightarrow f(a),\ a\in A$%. задан 8 Дек '20 4:01 
haosfortum |
|
В одну сторону доказательство опирается на теорему Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Если последовательность сходится поточечно, то второе условие очевидно, а из ТБШ сразу следует равномерная ограниченность норм. Обратно: пусть выполнены оба условия, $%M=\sup\limits_n\|f_n\|$% и $%\forall a\in A$% $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists N(a)\in\mathbb{N}:$% $%\forall n>N(a)$% $%|f_n(a)-f(a)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$%. Из всюду плотности заключаем, что $%\forall x\in X\setminus A$% $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists a\in A:$% $%\|x-a\|<\dfrac{\varepsilon}{2(M+\|f\|)}$%. Очевидно, что $$|f_n(x)-f(x)|\leq|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|+|f(a)-f(x)|\leq$$$$\leq\|x-a\|(\|f_n\|+\|f\|)+|f_n(a)-f(a)|.$$ Теперь для $%x\in X\setminus A$% по заданному $%\varepsilon>0$% подбираем подходящее $%a\in A$%, по которому подбираем $%N(a)$% и для всех $%n>N(a)$% получаем, что $%|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$%. отвечен 8 Дек '20 5:46 
caterpillar Большое спасибо!
(9 Дек '20 0:58)
haosfortum
|