Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора x(d/dx) в пространстве R(x)n. Очень легко находить сз и св, когда есть явно заданная матрица ЛО, конечно, и в этой задаче можно расписать матрицу ло, но задача скорее на само понимание сути св и сз,чем просто техническая. Поэтому прощу помощи, так как когда сталкиваюсь с задачами такого типа, подвисаю немного. Хотя интуитивно кажется просто применить ло на нескольких частных многочленов, попытаться что-то вынести, свести к общему виду. Соответсвенно, то что выносится - это сз, а то что остается св, верно?

задан 8 Дек '20 19:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно рассмотреть два подхода. Первый -- при помощи матриц. Они, как известно, задаются в базисе. Самый естественный базис в пространстве многочленов степени <=n имеет вид 1, x, x^2, ... , x^n. На каждый базисный элемент действуем оператором A=x(d/dx). Получаются векторы 0, x, 2x^2, ... , nx^n. Координаты каждого вектора в том же базисе записываем в столбцы матрицы. Она оказывается диагональной с элементами 0, 1, 2, ... , n на главной диагонали. Эти числа и являются собственными, а базисные векторы получаются собственными векторами для них. То есть тут всё так подобрано, что и вычислений никаких не нужно.

Второй подход связан с составлением и решением дифференциальных уравнений. Пусть k -- вещественное число. Пусть оно собственное. Тогда имеется ненулевой вектор f, для которого xf'(x)=kf(x). Решая, имеем f=Cx^k, где C ненулевое. Чтобы получился многочлен степени <=n, число k должно принимать значения 0, 1, 2, ... , n. То есть имеем этот же ответ.

ссылка

отвечен 8 Дек '20 19:24

Спасибо, на самом деле так и сделал, как вы и описали в первом подходе, но почему-то усомнился в его верности

(8 Дек '20 19:27) Vev202

@TOOF4CK: из рассмотрения частных примеров все эти решения в принципе видны, и тогда встаёт вопрос, все ли это решения. Здесь достаточно отметить, что собственных значений уже найдено n+1, а больше их быть не может. При этом все собственные подпространства одномерны, так как пространство будет их прямой суммой.

(8 Дек '20 19:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,476
×39
×20

задан
8 Дек '20 19:13

показан
287 раз

обновлен
8 Дек '20 19:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru