математический-анализ - Точная верхняя и точная нижняя грань

Все указанные числа положительны. Предположим, что минимум достигается на числе $%m/n$%. Однако мы легко можем указать число $%1/(n+1)$% из того же множества, и оно будет меньше, чем $%m/n$% -- ввиду того, что $%1\le m$% и $%n+1 > n$%. При этом точная нижняя грань (inf) будет равна нулю, так как можно указать точки множества, расположенные как угодно близко к нулю.

Докажем, что нет максимума. Прежде всего, все числа меньше $%1$% ввиду $%m < n$%. Допустим, что $%m/n$% максимально. Снова покажем, как указать большее число. Сначала рассмотрим дробь $%(2m)/(2n)$%. Она равна по величине предыдущей. Прибавив $%1$% к числителю, мы её увеличим: получится $%(2m+1)/(2n)$%. Новая дробь будет принадлежать исходному множеству: её числитель меньше знаменателя. Это следует из того, что было $%m < n$%, то есть $%m+1\le n$% ввиду целочисленности. Но тогда $%2m+2\le2n$%, откуда $%2m+1 < 2n$%.

Точная верхняя грань (sup) равна $%1$%, так как можно указать числа множества, сколь угодно близкие к единице. Например, $%n/(n+1)$% для достаточно большого $%n$%.