alt text

У данного уравнения есть 3 целых решения. Но уравнения $%x^3+x^2-1, x^3+x^2-5, x^3-x^2+3$% не имеют целых корней, и по методам школьной алгебры на сколько мне известно не решаются, по формуле Кардано получаются громозкие корни. Должен существовать более простой способ решения. Была мысль с заменой, но пока не понятно что заменять, хотелось заменить одно из уравнений и выразить его через другое, но мешает различие знаков у x^2. Из-за того, что вышеприведенные уравнения не получается нормально решить, применить способы раскрытия модуля не удается.

UPDATE

Спасибо за ответы. Решил методом подстановки и проверки корней, как предложил @falcao. Но этот способ ненадежен и не сработает в других случаях, что если неравенство, в которое нужно будет подставлять ответ будет сложным? Тогда на подстановку и проверку каждого корня может уйти много времени и это будет уже нерационально. Существует ли общий способ\подход решения подобного типа уравнений, при условии, что не делается допущение, что корни можно будет легко подставить в неравенство, чтобы избежать его решения? Или же всетаки придется найти более-менее удобный способ решения таких кубических неравенств, найти приближенные значения их действительных корней и тогда иметь возможность проверить по ним верны ли корни уравнений в совокупностях\системах.

UPDATE 2

можно было-бы построить графики этих кубических ф-й, по которым видно (судя по отрицательному дискриминанту) что единственный действительный корень находится между -2 и -1 в случае с $%x^3-x^2+3$% к примеру, но засада в том, что корень одного из уравнений в совокупности в моем решении к примеру $%-\root 3 \of 3$%, который как раз лежит между -2 и -1, он конечно подстановкой не подходит и решением не является, но установить это не зная точного корня уравнения $%x^3-x^2+3 = 0$% не получится без подстановки

задан 6 Сен '13 21:40

изменен 7 Сен '13 14:58

В случае, если вместо уравнений надо решить неравенства, можно сначала найти корни, а потом воспользоваться методом интервалов (все функции здесь непрерывны). С приближёнными значениями корней надо быть осторожным, так как возможно округление не в ту сторону. И в ответе также не разрешается делать округления. Поэтому подстановка чисел всё равно остаётся основным средством. Облегчение в том, что когда нужно проверять число из интервала, мы вправе брать любое из чисел, которое нам удобно. Например, между 0 и 1 легко проверить, что будет в точке 1/2.

(7 Сен '13 16:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно раскрывать модули как обычно, но при этом не решать получающихся неравенств, оставляя их в качестве условий. При этом получится два случая для "внешнего" модуля, и в каждом из них два подслучая для "внутреннего" модуля. Всего будет 4 случая, и в каждом из них возникает простое уравнение, корни которого далее останется проверить на предмет принадлежности к рассматриваемому случаю. Это делается подстановкой чисел в многочлены и проверки истинности полученных при этом неравенств.

ссылка

отвечен 6 Сен '13 22:00

1

А зачем проверять неравенства? Можно проверить равенство (само уравнение), тогда никакие неравенства вообще выписывать не надо. Получаем 5 корней, из которых два - лишних.

(7 Сен '13 0:57) DocentI

Да, это правильно: корней здесь мало, и каждый можно проверить "персонально".

(7 Сен '13 1:01) falcao

Да) но всё та же непосредственная проверка..

(7 Сен '13 1:20) ЛисаА

Ваш метод подходит, но я даже не думал о таком варианте, где можно не решать неравенства, которые определяют диапазон верных корней.

(7 Сен '13 11:35) vaychick
10|600 символов нужно символов осталось
1

Доброго времени всем)
@falcao, sorry, я кажется, повторяю то, что уже сказали Вы, - другими словами.. (или это все-таки немного другое решение ?..)
Уравнение $%\vert f(x)\vert = g(x)$% равносильно паре ( совокупности ) уравнений:
$%f(x) = g(x)$% или $%f(x) = - g(x)$%, - при условии, что $%g(x) >= 0$%
Можно просто снимать модули вот таким образом ( уравнения будут получаться простые - только надо будет потом проверять неотрицательность правой части при полученных $%x$% )

UPD да, это то же самое - разница только в том, "чей" знак проверять ( для найденных $%x$% )

ссылка

отвечен 6 Сен '13 22:08

изменен 7 Сен '13 1:17

@ЛисаА: решения похожие, но они всё-таки несколько отличаются. Объём вычислений там и там примерно одинаков, но у Вас требуется следить за величиной $%x^3-x^2$%, а в том, что у меня написано -- за $%x^3+x^2$%. В любом случае, дополнительный подход всегда полезно отметить.

(6 Сен '13 22:26) falcao

Да,подходы немного разные - а объем вычислений один и тот же..
А ответ подождем от @vaychick =)

(6 Сен '13 22:53) ЛисаА

@ЛисаА: мне все-таки ответ @falcao показался более понятным

(7 Сен '13 11:37) vaychick

=) Да можно и так, и так - разница не большая )

(7 Сен '13 12:10) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×428
×72

задан
6 Сен '13 21:40

показан
1161 раз

обновлен
7 Сен '13 16:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru