|
Доказать, что последовательность векторов {$%x_n$%} гильбертова пространства ($%H$%, (,)) сходится к $%x\in H$%, если и только если $%x_n⇀x$% и $%||x_n|| \longrightarrow ||x||$% при $%n \longrightarrow \infty$% задан 10 Дек '20 18:47 
Evvio
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Пусть $%\|x_n-x\|\to0$%. В силу неравенства треугольника $%|\|x_n\|-\|x\||\leq\|x_n-x\|$%, поэтому $%\|x_n\|\to\|x\|$%. Рассмотрим произвольный фиксированный функционал $%\varphi\in H^\ast$%. По теореме Рисса найдётся единственный элемент $%y_\varphi\in H$% такой, что для всех $%n\in\mathbb{N}$% $%\varphi (x_n-x)=(x_n-x,y_\varphi)$%. В силу неравенства Коши-Буняковского $%|\varphi (x_n-x)|\leq\|x_n-x\|\|y_\varphi\|$%, поэтому $%\varphi(x_n)\to\varphi(x)$%. Тем самым, $%x_n⇀x$%. Обратно: пусть $%x_n⇀x$% (т.е. $%\forall\varphi\in H^\ast$% $%\varphi(x_n)\to\varphi(x)$%) и $%\|x_n\|\to\|x\|$%. Тогда $%\|x_n-x\|^2=\|x_n\|^2+\|x\|^2-(x_n,x)-(x,x_n)$%. Поскольку элемент $%x\in H$% порождает функционал $%\varphi_x\in H^\ast$% такой, что $%\forall y\in H$% $%\varphi_x(y)=(y,x)$%, то для всех $%n\in\mathbb{N}$% $%(x_n,x)=\varphi_x(x_n)\to\varphi_x(x)=\|x\|^2$% и, аналогично, $%(x,x_n)=\overline{\varphi_x(x_n)}\to\overline{\varphi_x(x)}=\|x\|^2$%. Тем самым, $%\|x_n-x\|\to0.$% отвечен 10 Дек '20 19:10 
caterpillar |
Какой у Вас интересный код для половинчатой стрелочки. Как так получилось?
@Evvio: вот с одной вещью хорошо получилось, с другой плохо.
Одна имеется в виду, что написали не просто "гильбертово пространство H", а указали, с каким оно скалярным произведением. А то мало ли?
И тут же появляется обозначение какой-то сходимости с "полустрелочкой". Думай, гадай, читатель, что таким образом пожелали обозначить?
@caterpillar, не смогла найти в latex, поэтому пришлось просто скопировать со страницы в википедии про стрелки(:
@Evvio, код у неё такой: \rightharpoonup
Но в ответе я скопировал Ваш)
@falcao, это разве не стандартное обозначение слабой сходимости?
@haosfortum: я за то, чтобы ощущать "меру" такой стандартности. Видов сходимости много, а обозначения могут использоваться разные. То, что стандартно для погружённого в узкую область, не всегда стандартно для специалиста другого профиля, и так далее. Примеров можно привести кучу.
Я с ужасом подумал, что могла бы здесь означать полустрелочка вниз, а не вверх :)
@falcao, у меня даже идей нет :) Полустрелочку вниз я никогда не встречал
@haosfortum: стал искать ссылки, и обнаружился забавный факт. Вот вопрос где-то семилетней давности. Я там отвечал. В вопросе была сладостная полустрелочка. Но там после неё шло пояснение! Разумеется, я про само обозначение тут же забыл. Не уверен, что в курсе ФА, который я когда-то изучал, такое обозначение вообще вводилось.