2
1

В стене коридора замка имеется 2013 закрытых дверей. Один за другим 2013 сторожей начинают двигаться из начала коридора, причем первый сторож открывает все двери. Второй сторож изменяет положение каждой второй двери. Третий изменяет положение каждой третьей двери и так далее. Сколько дверей будут открыты после прохождения всех сторожей?

задан 7 Сен '13 17:51

изменен 7 Сен '13 19:56

falcao's gravatar image


221k2243

неужели так трудно посчитать?

(7 Сен '13 17:56) behemothus

да вообще-то не так уж и просто. у меня, к примеру, минут 10-15 ушло

(7 Сен '13 18:52) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Дверь номер $%i$% ($%i=1,2,...,2013$%) будет открыта, если у числа $%i$% имеется нечетное количество положительных делителей (включая 1 и само число $%i$%).
Пусть разложение числа $%i$% по простым степеням равно $%p_1^{s_1}p_2^{s_2}...p_n^{s_n}$%. Тогда у числа $%i$% количество положительных делителей числа равно $%(s_1+1)(s_2+1)...(s_n+1)$% (см. Википедию).
Значит, дверь открыта, если каждый из сомножителей вида $%(s_k+1)$% - нечетный, т.е. все $%s_k$% - четные, т.е. $%i$% является квадратом натурального числа. Остается только посчитать количество квадратов, меньших чем $%2013$%: $%N=\lfloor\sqrt{2013}\rfloor=44$%.
Ответ: после прохождения всех сторожей будет открыто 44 двери.

ссылка

отвечен 7 Сен '13 18:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499

задан
7 Сен '13 17:51

показан
686 раз

обновлен
7 Сен '13 19:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru