геометрия - Пересечение парабол

Question

Только что наткнулся в интернетах на такую задачку:

Доказать, что две параболы, имеющие общую ось и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом.

Задача, по сути, довольно простая. Вопрос в другом: сколькими способами ее можно решить? Можете считать это чем-то вроде конкурса. Буду поощрять каждое новое решение. Принятым помечу доказательство через определение параболы.

falcao 291k●9●38●53 · Accepted Answer

Определение имеется в виду через фокус и директрису? Если да, то я рассуждал бы так.

Пусть $%P$% -- общий фокус, $%A$% -- точка пересечения парабол. Тогда $%PA$% равно расстоянию от $%A$% до каждой из двух параллельных директрис. Опустим из $%A$% перпендикуляры $%AB$% и $%AC$% на эти директрисы; они пойдут в двух противоположных направлениях. При этом $%AP=AB=AC$%, и треугольник $%BCP$% -- прямоугольный, где $%A$% -- середина гипотенузы.

Далее нужно выявить положение касательных. Проверим, что это это будут серединные перпендикуляры, проведённые из точки $%A$% к отрезкам $%PB$% и $%PC$%. Отсюда будет сразу вытекать, что они перпендикулярны. Проверку достаточно осуществить для одной из парабол.

Итак, пусть $%AD$% -- медиана и высота треугольника $%PAB$%. Прямая $%AD$% имеет общую точку $%A$% с параболой, на директрисе которой лежит $%B$%. Других точек пересечения быть не может вот по какой причине: если точка $%X\ne A$% лежит на $%AD$%, то от $%P$% и $%B$% она равноудалена, но при этом $%XB$% будет наклонной к директрисе, то есть $%XB$% не равно расстоянию до директрисы. Расстояния до фокуса и директрисы разные, то есть $%X$% не принадлежит параболе.

Определение имеется в виду через фокус и директрису? Если да, то я рассуждал бы так.

Пусть $%P$% -- общий фокус, $%A$% -- точка пересечения парабол. Тогда $%PA$% равно расстоянию от $%A$% до каждой из двух параллельных директрис. Опустим из $%A$% перпендикуляры $%AB$% и $%AC$% на эти директрисы; они пойдут в двух противоположных направлениях. При этом $%AP=AB=AC$%, и треугольник $%BCP$% -- прямоугольный, где $%A$% -- середина гипотенузы.

Далее нужно выявить положение касательных. Проверим, что это это будут серединные перпендикуляры, проведённые из точки $%A$% к отрезкам $%PB$% и $%PC$%. Отсюда будет сразу вытекать, что они перпендикулярны. Проверку достаточно осуществить для одной из парабол.

Итак, пусть $%AD$% -- медиана и высота треугольника $%PAB$%. Прямая $%AD$% имеет общую точку $%A$% с параболой, на директрисе которой лежит $%B$%. Других точек пересечения быть не может вот по какой причине: если точка $%X\ne A$% лежит на $%AD$%, то от $%P$% и $%B$% она равноудалена, но при этом $%XB$% будет наклонной к директрисе, то есть $%XB$% не равно расстоянию до директрисы. Расстояния до фокуса и директрисы разные, то есть $%X$% не принадлежит параболе.

all_exist 55.2k●3●13 · Answer 2

1

Ну, если не совсем по определению, то можно воспользоваться оптическим свойством параболы...

Лучи, выпущенные из фокуса $%P$% в точку пересечения парабол - точку $%M$%, после отражения от парабол будут образовывать прямую, параллельную оси парабол ... обозначим эти лучи $%MX$% и $%MY$%... Согласно закону отражения, биссектрисы углов $%PMX$% и $%PMY$% - прямые $%l_x, l_y$%, должны быть перпендикулярны касательным... поскольку $%l_x, l_y$% являются биссектрисами смежных углов, то они перпендикулярны $%l_x\perp l_y$%... следовательно, перпендикулярны и касательные...

ссылка

отвечен 8 Сен '13 13:14

all_exist
55.2k●3●13

изменен 9 Сен '13 12:59

Красивый ответ!

(8 Сен '13 15:37) chameleon

геометрия - Пересечение парабол

2 ответа

Здравствуйте

Связанные исследования

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос