Показать, что многочлен f(x)=x^4+x+1 неприводим над полем F2. Описать все элементы поля F16, полученного расширением поля F2 при помощи корня ξ многочлена f(x). Доказать, что элемент ξ поля F16 примитивный. Найти минимальный многочлен элемента ξ^5.

задан 19 Дек '20 16:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Корней у многочлена f(x) в F2 нет. если он приводим, то получается произведение двух неприводимых степени 2. Над этим полем из многочленов степени 2 неприводим только x^2+x+1, но его квадрат равен x^4+x^2+1, что не равно f(x). Значит, он неприводим.

Присоединим к полю F2 корень многочлена f(x). Для простоты обозначим его через x вместо xi (хотя последнее точнее). Расширение равно F16, и в нём x^4=x+1. Тогда x^8=(x+1)^2=x^2+1, x^{16}=(x^2+1)^2=x^4+1=x. Сокращая на x, имеем x^{15}=1. Значит, порядок элемента x в мультипликативной подгруппе делит 15. Если x^3=1, то f(x) не будет минимальным многочленом. Если x^5=1, то 1=x^5=x^2+x, что снова противоречит минимальности. Поэтому порядок x равен 15, и это примитивный элемент.

Из x^{15}-1=0 следует, что (x^5-1)(x^{10}+x^5+1)=0. Элемент x^5 не равен 1, на первый множитель сокращаем, и тогда y^2+y+1=0 для y=x^5. Это минимальный многочлен, так как x^5 не равно ни 0, ни 1, и не является корнем линейного многочлена.

ссылка

отвечен 19 Дек '20 21:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×471
×79
×40
×38
×5

задан
19 Дек '20 16:11

показан
218 раз

обновлен
19 Дек '20 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru