Рассмотрим счетное покрытие всех рациональных точек интервалами. Объединение интервалов назовем множеством A. Рассмотрим множество B=[0,1]. Почему множество B\A - замкнуто?

задан 21 Дек '20 13:12

изменен 21 Дек '20 13:26

@shichin: Вы в курсе того факта, что объединение открытых всегда открыто, а дополнение открытого -- замкнуто?

(21 Дек '20 15:29) falcao

@falcao, конечно, я в курсе. Меня смущает, что не все интервалы полностью попадают в отрезок. И еще: дополнение A - это разве не R\A?

(21 Дек '20 15:50) shichin

@shichin: а почему они должны попадать? Ведь теоретико-множественная разность всегда имеет смысл.

Дополнение можно брать где угодно. Я брал в замкнутом множестве. Если хотите в самом R, то выбросите ещё два открытых луча.

Надо осознать, что сам факт представляет собой полнейшую тривиальность.

(21 Дек '20 16:02) falcao

Еще такой вопрос: мы знаем, что R с метрикой |x-y| - это пополнение Q с той же самой метрикой. А какую можно построить изометрию, чтобы убедиться в том, что это пополнение?

(10 Янв 15:32) shichin

f(x)=x устроит?

(10 Янв 15:36) caterpillar

@caterpillar, а я правильно понимаю, что если у нас есть подмножество A метрического пространства X, то оно плотно в X по определению, если для любого x найдется окрестность, в которую попадет элемент из A. И такое же определение для всюду плотного множества A в X?

(10 Янв 15:48) shichin

А что тут можно правильно понимать, если это определение и есть?

(10 Янв 16:43) caterpillar

@caterpillar, так оно неправильное :)

(10 Янв 17:05) haosfortum

@haosfortum, ну, переклинило)) наверное, смутило "по определению", а дальше читал вполглаза.

(10 Янв 17:14) caterpillar

@caterpillar, просто странно, что всюду плотное и плотное множества это одно и то же.

(10 Янв 19:51) shichin

@shichin, множество A плотно в множестве B, если $%B\subset\overline{A}$%. Если же $%B=X$%, то обратное включение очевидно и потому имеет место равенство, что называется всюду плотностью.

(10 Янв 19:57) caterpillar

@shichin: основной момент содержится в том, что в любой окрестности содержится. Остальное -- это уже мелочи. Только надо понимать, что можно дать определение, когда что-то плотно в чём-то, или как частный случай, когда оно плотно всюду. И здесь не надо слишком увлекаться "казуистикой". Достаточно ориентироваться на здравый смысл. Вот Вы знаете, что множество рациональных точек отрезка [0,1] плотно в нём, и этого достаточно. Попросят дать более общее определение -- вызовете в сознании этот пример, и скажете по аналогии.

(10 Янв 20:50) falcao

Спасибо, а сточки зрения окрестностей чем плотность отличается от всюду плотности?

(11 Янв 15:21) shichin

@shichin: Вам надо осознать, что нет понятия "подмножество плотно". Это снимет все вопросы. Подмножество может быть плотно В ЧЁМ-ТО. Если оно плотно во всём множестве, то говорят, что оно всюду плотно.

(11 Янв 21:30) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,736

задан
21 Дек '20 13:12

показан
123 раза

обновлен
11 Янв 21:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru