делимость - Исследование последовательности

Пусть $%k_n$% — наименьшее натуральное число, на которое не делится нацело $%n!$%

И пусть $%a_n=\dfrac{n!}{k-1}$% для каждого натурального $%n$%.

Получается последовательность: 1, 1, 2, 6, 20, 120, 504, ..., которой, кстати, нет в OEIS.

Легко доказать, что в этой последовательности встретятся бесконечно много факториалов, ведь для любого простого числа $%p$% выполняется $$a_{p-1}=\dfrac{(p-1)!}{p-1}=(p-2)!$$ Однако данной формулой охвачены не все факториалы в этой последовательности. Например, $$a_3=\dfrac{3!}{3}=2=2!$$, хотя 4 — составное число. Отсюда вопрос: Встретятся ли в нашей последовательности ещё подобные контрпримеры? То есть, встретятся ли ещё случаи, когда $%a_n=m!$% для некоторых натуральных $%n$% и $%m$%, но при этом $%n+1$% будет составным числом?