Пусть $%k_n$% — наименьшее натуральное число, на которое не делится нацело $%n!$%

И пусть $%a_n=\dfrac{n!}{k-1}$% для каждого натурального $%n$%.

Получается последовательность: 1, 1, 2, 6, 20, 120, 504, ..., которой, кстати, нет в OEIS.

Легко доказать, что в этой последовательности встретятся бесконечно много факториалов, ведь для любого простого числа $%p$% выполняется $$a_{p-1}=\dfrac{(p-1)!}{p-1}=(p-2)!$$ Однако данной формулой охвачены не все факториалы в этой последовательности. Например, $$a_3=\dfrac{3!}{3}=2=2!$$, хотя 4 — составное число. Отсюда вопрос: Встретятся ли в нашей последовательности ещё подобные контрпримеры? То есть, встретятся ли ещё случаи, когда $%a_n=m!$% для некоторых натуральных $%n$% и $%m$%, но при этом $%n+1$% будет составным числом?

задан 21 Дек '20 14:30

2

@Казвертеночка: по-моему, тут всё легко анализируется. Если n! не делится на n+1, то n+1 или простое, или равно 4. Это известный факт. Тогда, если не имеет место этот случай, то после деление факториала получается факториал числа, меньшего n-1, и тогда мы разделили по крайней мере на n(n-1). Но между n и 2n есть простое число, поэтому делимость "застопоривается" раньше.

(21 Дек '20 15:58) falcao

@falcao, большое спасибо!

(21 Дек '20 18:16) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×235
×125
×47
×27
×6

задан
21 Дек '20 14:30

показан
73 раза

обновлен
21 Дек '20 18:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru