$$1. \frac{12}{|tgx+ctgx|} =5-cos4x$$ $$2. tg^2x= \frac{1-cos|x|}{1-sin|x|}$$

задан 12 Сен '13 16:26

@Amalia: посмотрите объяснение, данное @Anatoliy -- он там подробно всё расписал, сведя решение к уравнениям простого вида.

(15 Сен '13 20:16) falcao

@Amalia: в условии $%\cos|x|=1$% модуль просто отбрасывается ввиду чётности функции. В условии $%\cos|x|=\sin|x|$% можно рассмотреть случаи положительного и отрицательного $%x$%, раскрывая модуль обычным способом.

(15 Сен '13 20:38) falcao

@Amalia: серия $%2\pi k$% найдена верно, а для другого случая -- нет. Вы решили уравнение $%\cos x=\sin x$%, отбросив оба модуля. Но у косинуса его отбрасывать можно, а у синуса -- нет. Поэтому там получается запись несколько более сложная. Я рекомендовал рассмотреть отдельно случаи положительного и отрицательного $%x$%; похоже, Вы этого не сделали.

(15 Сен '13 20:56) falcao

@falcao как их правильно записать |x|=2пk а чему равен х?? У вас есть что то типо аськи чтобы было удобнее общаться

(15 Сен '13 22:01) Amalia

@falcao как правильно ответ записать, я именно это не поняла

(16 Сен '13 15:47) Amalia

@Amalia: так ведь всё уже вроде разобрали до конца? Окончательный ответ во втором примере состоит из двух серий: $%x=2\pi k$%, или $%x=\pm(\pi/4+\pi m)$%, где $%m\ge0$% (числа $%k,m$% целые). Это довольно редкий случай, когда ответ в такой относительно сложной форме записывается, но раз исследование к этому привело, значит, так и есть.

(16 Сен '13 16:27) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$2.\quad tg^2x= \frac{1-cos|x|}{1-sin|x|}\Leftrightarrow\frac{1-cos^2|x|}{cos^2x}=\frac{(1-cos|x|)(1+sin|x|)}{cos^2x}\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ \begin{aligned}1-cos|x|=0,\\cos|x|=sin|x|, \end{aligned} \right. \\cosx\ne0\end{cases}...$$

ссылка

отвечен 12 Сен '13 19:47

а первый решите?

(12 Сен '13 21:48) Amalia

Без проблем. Но, решение первого уравнения хорошо представлено у falcao.

(13 Сен '13 21:14) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2

В №2 (после выписывания ОДЗ) можно дробь в правой части умножить и поделить на сопряжённый множитель и к числителю, и к знаменателю... тогда тангенс в квадрате сократится и останется совсем простое уравнение...

ссылка

отвечен 12 Сен '13 18:32

@all_exist: да, Вы правы -- так проще всего. Я изложил общий подход, даже особо не думая над особенностями конкретного примера.

(12 Сен '13 22:28) falcao

Вот только по то что тангенс сократится я написал некорректно... конечно, получится совокупность из двух простых уравнений...

(12 Сен '13 22:33) all_exist

@all_exist: я понял Вас правильно -- в том смысле, что знаменатель у тангенса исчезает, и получается простое уравнение.

(13 Сен '13 0:04) falcao

@falcao, знаменатель у тангенса исчезает - Не просто знаменатель... я имел ввиду домножение на $$\frac{(1+\cos|x|)(1+\sin|x|)}{(1+\cos|x|)(1+\sin|x|)}$$ Тогда получим, что либо тангенс в квадрате равен нулю, либо синус равен косинусу...

(13 Сен '13 0:25) all_exist

а первый номер вообще решаем?

(13 Сен '13 19:02) Amalia

@Amalia: он не только решаем, но я даже изложил схему решения! Которую надо всего лишь внимательно осмыслить.

(13 Сен '13 20:45) falcao

@Amalia: я продолжу здесь. "Аська" у меня когда-то была, но я ей уже много лет как не пользуюсь. Тут на самом деле всё уже почти сделано. Случай $%|x|=2\pi k$% очень простой: $%x$% имеет точно такой же вид, то есть эта серия у Вас была найдена верно. К ней надо добавить множество решений уравнения $%\cos|x|=\sin|x|$%, что пока не было сделано. Давайте я просто покажу, как это можно сделать. Уравнение, когда косинус равен синусу, Вы умеете решать. И там получится $%|x|=\pi/4+\pi k$%, где $%k\ge0$% (целое). Тогда $%x=\pm(\pi/4+\pi k)$%, но не для всех целых $%k$%, а только для $%k\ge0$%.

(15 Сен '13 22:46) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Преобразуйте сумму тангенса и котангенса. Она выразится через произведение синуса и косинуса, что выражается через синус двойного угла, который будет стоять под знаком модуля. Далее надо воспользоваться формулой косинуса удвоенного угла, согласно которой $%\cos 4x$% выражается через $%\sin 2x$%. При этом синус возводится в квадрат, поэтому всё сводится к решению квадратного уравнения относительно $%|\sin2x|$%. Надо при этом не забыть про область определения левой части.

2) Здесь можно положить $%y=|x|$%. Тогда под тангенсом можно поставить знак модуля, и ничего не изменится. Уравнение относительно $%y$% получится уже без модулей, но среди его решений надо брать только неотрицательные $%y$%. Полученное уравнение можно решить разными способами -- например, сводя его к алгебраическому посредством замены вида $%t={\mathop{\rm tg }}\frac{y}2$%. Синус и косинус угла $%y$% выражаются через тангенс половинного угла по известным формулам: $%\cos y=\frac{1-t^2}{1+t^2}$%, $%\sin y=\frac{2t}{1+t^2}$%.

Скорее всего, можно решить как-то и по-другому, но этот способ хорош тем, что он универсален. Но замену надо делать с учётом того, что тангенс может не быть определён, и эти случаи надо проанализировать отдельно.

ссылка

отвечен 12 Сен '13 16:58

не поняла ничего

(12 Сен '13 17:58) Amalia

Давайте осмыслять построчно. Фраза "преобразуйте сумму тангенса и котангенса" Вас понятна?

(12 Сен '13 18:08) falcao

нет, не понимаю о какой формуле идет речь..

(14 Сен '13 22:14) Amalia

@Amalia: имелось в виду, что тангенс надо записать как отношение синуса и косинуса, а котангенс -- в виде отношения косинуса и синуса. Получатся две дроби, которые надо сложить, приводя их к общему знаменателю. После этого числитель упрощается, а в знаменателе будет произведение, которое легко выражается через синус двойного угла. Я рекомендовал бы проделать это вычисление, проанализировать, а потом уже идти дальше.

(14 Сен '13 22:23) falcao

в первом получается два ответа? $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k \\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k $$

(15 Сен '13 17:04) Amalia

@Amalia: в первом примере ответ верный, но его лучше записать в более удобной форме. Там получается уравнение $%|\sin2x|=1$%. Его лучше не разбивать на два уравнения, решая их по отдельности, а заметить, что оно равносильно условию $%\cos2x=0$%: тогда синус как раз будет равен $%\pm1$%. Получается $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$% -- это то же множество, но записанное в виде одной серии. Во втором примере ответ неверный. Скажем, подставьте в уравнение $%x=\pi$% -- будет ясно, что оно не подходит (в левой части $%0$%, в правой $%(1-(-1))/(1-0)=2$%.

(15 Сен '13 18:59) falcao

Я ошиблась, x=п/4+пk во вторлм, на счет первого я поняла. А что во втором?

(15 Сен '13 19:05) Amalia

@Amalia: во втором примере ответ всё равно неверный. Например, можно подставить $%x=0$% и увидеть, что это значение подходит. Чтобы выявить ошибку (а это сделать полезнее нежели просто получить верный ответ), я должен видеть ход Ваших вычислений.

(15 Сен '13 19:14) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×95

задан
12 Сен '13 16:26

показан
4997 раз

обновлен
16 Сен '13 16:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru