|
$$1. \frac{12}{|tgx+ctgx|} =5-cos4x$$ $$2. tg^2x= \frac{1-cos|x|}{1-sin|x|}$$ задан 12 Сен '13 16:26 
Amalia
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$$2.\quad tg^2x= \frac{1-cos|x|}{1-sin|x|}\Leftrightarrow\frac{1-cos^2|x|}{cos^2x}=\frac{(1-cos|x|)(1+sin|x|)}{cos^2x}\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ \begin{aligned}1-cos|x|=0,\\cos|x|=sin|x|, \end{aligned} \right. \\cosx\ne0\end{cases}...$$ отвечен 12 Сен '13 19:47 
Anatoliy |
|
В №2 (после выписывания ОДЗ) можно дробь в правой части умножить и поделить на сопряжённый множитель и к числителю, и к знаменателю... тогда тангенс в квадрате сократится и останется совсем простое уравнение... отвечен 12 Сен '13 18:32 
all_exist @all_exist: да, Вы правы -- так проще всего. Я изложил общий подход, даже особо не думая над особенностями конкретного примера.
(12 Сен '13 22:28)
falcao
Вот только по то что тангенс сократится я написал некорректно... конечно, получится совокупность из двух простых уравнений...
(12 Сен '13 22:33)
all_exist
@all_exist: я понял Вас правильно -- в том смысле, что знаменатель у тангенса исчезает, и получается простое уравнение.
(13 Сен '13 0:04)
falcao
@falcao, знаменатель у тангенса исчезает - Не просто знаменатель... я имел ввиду домножение на $$\frac{(1+\cos|x|)(1+\sin|x|)}{(1+\cos|x|)(1+\sin|x|)}$$ Тогда получим, что либо тангенс в квадрате равен нулю, либо синус равен косинусу...
(13 Сен '13 0:25)
all_exist
а первый номер вообще решаем?
(13 Сен '13 19:02)
Amalia
@Amalia: он не только решаем, но я даже изложил схему решения! Которую надо всего лишь внимательно осмыслить.
(13 Сен '13 20:45)
falcao
@Amalia: я продолжу здесь. "Аська" у меня когда-то была, но я ей уже много лет как не пользуюсь. Тут на самом деле всё уже почти сделано. Случай $%|x|=2\pi k$% очень простой: $%x$% имеет точно такой же вид, то есть эта серия у Вас была найдена верно. К ней надо добавить множество решений уравнения $%\cos|x|=\sin|x|$%, что пока не было сделано. Давайте я просто покажу, как это можно сделать. Уравнение, когда косинус равен синусу, Вы умеете решать. И там получится $%|x|=\pi/4+\pi k$%, где $%k\ge0$% (целое). Тогда $%x=\pm(\pi/4+\pi k)$%, но не для всех целых $%k$%, а только для $%k\ge0$%.
(15 Сен '13 22:46)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
1) Преобразуйте сумму тангенса и котангенса. Она выразится через произведение синуса и косинуса, что выражается через синус двойного угла, который будет стоять под знаком модуля. Далее надо воспользоваться формулой косинуса удвоенного угла, согласно которой $%\cos 4x$% выражается через $%\sin 2x$%. При этом синус возводится в квадрат, поэтому всё сводится к решению квадратного уравнения относительно $%|\sin2x|$%. Надо при этом не забыть про область определения левой части. 2) Здесь можно положить $%y=|x|$%. Тогда под тангенсом можно поставить знак модуля, и ничего не изменится. Уравнение относительно $%y$% получится уже без модулей, но среди его решений надо брать только неотрицательные $%y$%. Полученное уравнение можно решить разными способами -- например, сводя его к алгебраическому посредством замены вида $%t={\mathop{\rm tg }}\frac{y}2$%. Синус и косинус угла $%y$% выражаются через тангенс половинного угла по известным формулам: $%\cos y=\frac{1-t^2}{1+t^2}$%, $%\sin y=\frac{2t}{1+t^2}$%. Скорее всего, можно решить как-то и по-другому, но этот способ хорош тем, что он универсален. Но замену надо делать с учётом того, что тангенс может не быть определён, и эти случаи надо проанализировать отдельно. отвечен 12 Сен '13 16:58 
falcao не поняла ничего
(12 Сен '13 17:58)
Amalia
Давайте осмыслять построчно. Фраза "преобразуйте сумму тангенса и котангенса" Вас понятна?
(12 Сен '13 18:08)
falcao
нет, не понимаю о какой формуле идет речь..
(14 Сен '13 22:14)
Amalia
@Amalia: имелось в виду, что тангенс надо записать как отношение синуса и косинуса, а котангенс -- в виде отношения косинуса и синуса. Получатся две дроби, которые надо сложить, приводя их к общему знаменателю. После этого числитель упрощается, а в знаменателе будет произведение, которое легко выражается через синус двойного угла. Я рекомендовал бы проделать это вычисление, проанализировать, а потом уже идти дальше.
(14 Сен '13 22:23)
falcao
в первом получается два ответа? $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k \\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k $$
(15 Сен '13 17:04)
Amalia
@Amalia: в первом примере ответ верный, но его лучше записать в более удобной форме. Там получается уравнение $%|\sin2x|=1$%. Его лучше не разбивать на два уравнения, решая их по отдельности, а заметить, что оно равносильно условию $%\cos2x=0$%: тогда синус как раз будет равен $%\pm1$%. Получается $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$% -- это то же множество, но записанное в виде одной серии. Во втором примере ответ неверный. Скажем, подставьте в уравнение $%x=\pi$% -- будет ясно, что оно не подходит (в левой части $%0$%, в правой $%(1-(-1))/(1-0)=2$%.
(15 Сен '13 18:59)
falcao
Я ошиблась, x=п/4+пk во вторлм, на счет первого я поняла. А что во втором?
(15 Сен '13 19:05)
Amalia
показано 5 из 8
показать еще 3
|
@Amalia: посмотрите объяснение, данное @Anatoliy -- он там подробно всё расписал, сведя решение к уравнениям простого вида.
@Amalia: в условии $%\cos|x|=1$% модуль просто отбрасывается ввиду чётности функции. В условии $%\cos|x|=\sin|x|$% можно рассмотреть случаи положительного и отрицательного $%x$%, раскрывая модуль обычным способом.
@Amalia: серия $%2\pi k$% найдена верно, а для другого случая -- нет. Вы решили уравнение $%\cos x=\sin x$%, отбросив оба модуля. Но у косинуса его отбрасывать можно, а у синуса -- нет. Поэтому там получается запись несколько более сложная. Я рекомендовал рассмотреть отдельно случаи положительного и отрицательного $%x$%; похоже, Вы этого не сделали.
@falcao как их правильно записать |x|=2пk а чему равен х?? У вас есть что то типо аськи чтобы было удобнее общаться
@falcao как правильно ответ записать, я именно это не поняла
@Amalia: так ведь всё уже вроде разобрали до конца? Окончательный ответ во втором примере состоит из двух серий: $%x=2\pi k$%, или $%x=\pm(\pi/4+\pi m)$%, где $%m\ge0$% (числа $%k,m$% целые). Это довольно редкий случай, когда ответ в такой относительно сложной форме записывается, но раз исследование к этому привело, значит, так и есть.