Как доказать утверждение, что если z0 нуль k-го порядка для числителя и нуль m-го порядка для знаменателя, то это полюс m-k -го порядка для функции

задан 26 Дек '20 0:08

Это утверждение не совсем точное (важно, как соотносятся k и m), но доказательство для аналитических функций тривиальное. Есть разложение в ряд, у него выделяем множители (z-z0)^k и (z-z0)^m. То, что остаётся после выделения -- аналитическая функция, стремящаяся к ненулевой константе. Типа, f(z)=(z-z0)^{k}g(z), где g(z)=a+b(z-z0)+... , a не равно 0. Потом сокращаем степени.

Это часть определения самих понятий -- в общем виде они не имели бы смысла.

(26 Дек '20 1:40) falcao

Спасибо! То, что функции можно представить в таком виде, это же просто по определению нуля k-го и m-го порядков?(как порядок первой ненулевой производной)

(26 Дек '20 10:18) Trace9876

@Trace9876: вблизи нуля будет полюс первого порядка. Вблизи остальных точек -- полюс 4-го порядка.

(26 Дек '20 16:36) falcao

@Trace9876: я не вижу разницы между тем, что написал я, и тем, что написали Вы -- ответы-то одинаковые. Разница там только в словах типа "наверное" -- такого дела следует избегать (не говоря о том, что там не члены ряда, а показатели степени увеличиваются). А остальное не отличается.

(26 Дек '20 16:48) falcao

@Trace9876: Вы ищете формальное обоснование для стандартного факта? Можно предложить такое: после выделения главного члена в числителе или знаменателе остаётся аналитическая функция, не равная нулю в точке. Она раскладывается в ряд с ненулевым свободным членом. Все остальные показатели степеней увеличиваются, так как у свободного члена показатель 0, а у остальных 1, 2, ... .

По-моему, это всё подразумевается, а обоснование уже было в учебниках. Его проще прочитать и не обращаться к вопросу о том, корректны ли эти все операции.

(26 Дек '20 17:06) falcao

@Trace9876: я в таких случаях всегда делаю замену: z=w+2пk, где w->0. Числитель даёт главный член (2пk)^3. В знаменателе (1-cos w)^2=(w^2/2+...)^2=w^4/4+... . Полюс 4-го порядка. Ошибок нет, но через замену удобнее.

(27 Дек '20 23:31) falcao

@Trace9876: Вы сейчас перешли на "поток сознания". Так иногда делают, если есть гарантия, что собеседник всё улавливает с полуслова. Но я, наоборот, ни слова тут не понимаю. Какие тут рекуррентные соотношения? Да, их нет, но почему тогда упомянуты они, а не короли и капуста, как у О.Генри? :)

(27 Дек '20 23:49) falcao

@Trace9876: это тот вопрос, где Вы условие зачем-то удаляли? В итоге сами себе создали трудности :)

Там разложение давалось в окрестности нуля. Конечно, ряд может сходиться в какой-то более широкой области -- может даже, на всей комплексной плоскости. Скорее всего, так и есть -- там модули коэффициентов быстро убывают. Но это отдельная задача по оценке радиуса сходимости. Её надо точно и аккуратно поставить, и решать по возможности отдельно. Желательно, не в комментариях, и не в этом вопросе.

(28 Дек '20 0:52) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×225

задан
26 Дек '20 0:08

показан
190 раз

обновлен
28 Дек '20 0:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru