|
Биссектриса угла $%B$% треугольника $%ABC$% пересекает описанную около него окружность в точке $%S$% . Точка $%O_1$% центр вписанной в треугольник окружности. Как доказать, что $%SA=SC=SO_1$% ? $%SA=SC$% из того, что хорды образованы одинаковыми углами(ведь $%BS$% биссектриса угла $%B$%)А вот с $%SO_1$% проблема.Если вокруг треугольника можно описать окружность и вписать её, центры не обязательно совпадают? задан 13 Сен '13 20:32 
Dragon65 |
|
Вы правильно доказали, что $%SA=SC$%. Теперь осталось доказать, что $%SA=SO_1$%, что означает равнобедренность треугольника $%SAO_1$%, и может быть установлено через нахождение его углов. Заметьте, что точка $%O_1$% -- это точка пересечения биссектрис, поэтому она лежит на $%BS$%. Используя свойства вписанных углов, а также того, что $%AO_1$% будет биссектрисой угла $%A$%, найдите величины углов $%SAC$%, $%O_1AC$%, а также $%AO_1S$% как внешний угол одного из треугольников. После этого будет видно, что два угла треугольника $%SAO_1$% равны между собой. Под словом "найти" здесь понимается "выразить через углы треугольника $%ABC$%". отвечен 13 Сен '13 20:58 
falcao Обозначим половинные углы: $%1/2A=\alpha; 1/2B=\beta$% угол $%AO1S$% равен(как внешний угол тр-ка $%ABO_1$%) $%\alpha+\beta$% Углы $%SAC и SBC$% опираются на одну хорду$%SC$%, т.е. они равны. И угол$% SAO_1$% тоже равен $%\alpha+\beta$%, откуда треугольник $%AO_1S$%-равнобедренный, спасибо.
(14 Сен '13 16:37)
Dragon65
|
@Dragon65, Если вокруг треугольника можно описать окружность и вписать её, центры не обязательно совпадают? - Совпадают только для правильного треугольника...
"если можно и описать окружность вокруг треугольника, и вписать окр. в треугольник.." --
Что значит "если" ? =)
и Описанная и Вписанная окружности существуют для любого треугольника ( а про центры -да, уже сказано - совпадают только если треуг-к правильный)
UPD А вообще, это "теорема о трилистнике" (и много других названий для этого же утверждения). Полезная все-таки.. =)