$$ (x^2-x+1)\cdot(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1) $$

задан 27 Дек '20 21:25

изменен 27 Дек '20 23:13

1

попробуйте умножить на $%(x^2+x+1)$%...

(27 Дек '20 22:14) all_exist

@all_exist, точно, спасибо! а я сначала начал умножать попарно на $% x+1 $%, $% x^2+1 $% и т. д. и как то от этого "плясать".. Тогда ответ будет $$ \frac{x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1}{x^2+x+1}\;? $$

(27 Дек '20 22:29) Mc7

@Mc7, фраза "выполнить умножение" у меня ассоциируется с конечным результатом в виде многочлена... (((

то что Вы получили после моей подсказки больше ассоциируется с каким-то упрощением, но не выполнением умножения...

(27 Дек '20 22:42) all_exist

@all_exist, мне кажется это и имелось ввиду. Если у Вас есть идеи, как дальше продолжить решение буду рад послушать.

(27 Дек '20 22:49) Mc7

@all_exist, с Вашего разрешения я все таки переименую условие задания, что бы не было вопросов.

(27 Дек '20 23:11) Mc7
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$ F(x)=(x^2-x+1)\cdot(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1) $$ $$ F(x)\cdot(x^2+x+1)=(x^2-x+1)\cdot(x^2+x+1)\cdot(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1) $$ $$ F(x)\cdot(x^2+x+1)=(x^4+x^2+1)\cdot(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1) $$ $$..........................................................$$ $$ F(x)\cdot(x^2+x+1)=(x^{2^{n}}+x^{2^{n-1}}+1)\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1) $$ $$ F(x)\cdot(x^2+x+1)=x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1 $$ $$ F(x)=\frac{x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1}{x^2+x+1} $$ $%Все\ таки\ "добил"\ свое\ решение\ о\ котором\ говорил\ выше,\ оно\ не\ такое\ рациональное,\ но\ все\ же$% $$P(x)=(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1)$$ $$F_{1}(x)=x^2-x+1 \Leftrightarrow F_{1}(x)(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$$ $$F_{2}(x)=x^4-x^2+1 \Leftrightarrow F_{2}(x)(x^2+1)=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=x^6+1$$ $$............................................................................$$ $$F_{n}(x)=x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1 \Leftrightarrow F_{n}(x)(x^{2^{n-1}}+1)=(x^{2^{n-1}}+1)(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1)=x^{3\cdot2^{n-1}}+1$$ $$P(x)=F_{1}(x)\cdot F_{2}(x) \cdot\ ...\ \cdot F_{n}(x) $$ $$F_{1}(x)(x+1)F_{2}(x)(x^2+1)\cdot \ ...\ \cdot F_{n}(x)(x^{2^{n-1}}+1)=(x^3+1)(x^6+1)\cdot\ ...\ \cdot(x^{3\cdot2^{n-1}}+1)$$ $$\frac{P(x)(x-1)(x+1)(x^2+1)\cdot ... \cdot(x^{2^{n-1}}+1)}{x-1}=\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)\cdot\ ...\ \cdot(x^{3\cdot2^{n-1}}+1)}{x^3-1} $$ $$\frac{P(x)(x^2-1)(x^2+1)\cdot ... \cdot(x^{2^{n-1}}+1)}{x-1}=\frac{(x^6-1)(x^6+1)\cdot\ ...\ \cdot(x^{3\cdot2^{n-1}}+1)}{x^3-1} $$ $$...................................................................$$ $$\frac{P(x)(x^{2^{n-1}}-1)(x^{2^{n-1}}+1)}{x-1}=\frac{(x^{3\cdot2^{n-1}}-1)(x^{3\cdot2^{n-1}}+1)}{x^3-1} $$ $$\frac{P(x)(x^{2^{n}}-1)}{x-1}=\frac{(x^{3\cdot2^{n}}-1)}{x^3-1} $$ $$\frac{P(x)(x^{2^{n}}-1)}{x-1}=\frac{(x^{2^{n}}-1)(x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} $$ $$P(x)=\frac{x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1}{x^2+x+1} $$ $$(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)\cdot\; ...\;\cdot(x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1)=\frac{x^{2^{n+1}}+x^{2^{n}}+1}{x^2+x+1}$$

ссылка

отвечен 27 Дек '20 22:43

изменен 28 Дек '20 2:54

@Mc7: а зачем это всё? Тут же механизм решения основан на одном тождестве. Путь решения надо искать как можно более простой. Идея домножения на x-1 или x+1 возможна, но она толком ничего не даёт. Это лишние "персонажи" в "драме", без них она естественнее и правдоподобнее :)

(28 Дек '20 4:08) falcao

@falcao, да, Вы правы! Но я все же из за принципа решил доделать по той идее которая пришла мне в голову.

(28 Дек '20 4:13) Mc7
1

@Mc7: а полезно ли такое стремление? Я считаю, что нет. Потому что, действуя в угоду привычкам себя сегодняшнего, Вы жертвуете собой завтрашним -- более совершенным, приобретшим новые полезные привычки (мыслить экономно, видеть красоту и симметрию, не хвататься за первое попавшееся соображение и т.д.).

(28 Дек '20 4:16) falcao

@falcao, с таким аргументом и не поспоришь))

(28 Дек '20 4:19) Mc7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,109
×48
×13

задан
27 Дек '20 21:25

показан
244 раза

обновлен
28 Дек '20 4:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru