геометрия - Векторное равенство

Можно попробовать так. Площадь треугольника BCO равна 1/2 |OB||OC|sin $%\alpha$%. Подставляя аналогичные значения для всех площадей, заметим, что равенство можно сократить на |OA|, |OB|, |OC|, доказываемое равенство примет вид $%\overrightarrow{a}sin{\alpha}+\overrightarrow{b}sin{\beta}+\overrightarrow{c}sin{\gamma}=\overrightarrow{0}$%, где векторы $%\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$% являются ортами векторов $%\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$%.

Кстати, здесь видно, что размеры треугольника вообще не важны, достаточно доказать равенство для трех единичных векторов, углы между которыми считаются в одном направлении. Это деат обобщение на точки вне треугольника (только площадь будет относительная, со знаком)

Теперь можно воспользоваться, например, комплексными числами. Считаем, что орты - это числа с модулем 1, а синусы углов вычисляем как мнимые части отношений соседних векторов.

Тот факт, что точка O лежит внутри треугольника отразится в том, что все углы можно вычислять в положительном направлении, т.к. их синусы будут одного знака.

Вроде там все сокращается.
Впрочем, если использовать комплексные числа, можно и не переходить к ортам.

Мне понравилось решение Anatolij. Хорошо бы еще найти его симметричный аналог.
Задачу можно сформулировать в терминах барицентрических координат, так как множители при векторах (если их нормировать так, чтобы их сумма была равна 1) являются барицентрическими координатами точки O. Значит, смысл задачи в том, что доли, на которые делят площадь треугольника прямые OA, OB, OC и есть барицентрические координаты точки O.

Обозначим $%\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{x}=S_A\overrightarrow{a}+S_B\overrightarrow{b}+S_C\overrightarrow{c}$%, $%<BOC=\alpha,<AOC=\beta, <AOB=\gamma,$% $%(\alpha+\beta+\gamma=180^0)$%, докажем что$%\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$%. Вычислим скалярное произведение $% \overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}=S_A(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})+S_B(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})+S_C(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})$% = $%\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|sin\alpha+ \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|sin\beta.cos\gamma$%+$% \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|sin\gamma.cos\beta$%=

=$%\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|(sin\alpha+sin\beta.cos\gamma+sin\gamma.cos\beta)$%= =$%\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|(sin\alpha+sin(\beta+\gamma))=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|(sin\alpha-sin\alpha)=0$% . Аналогично доказывается что $% \overrightarrow{b}.\overrightarrow{x}=0$% и $% \overrightarrow{c}.\overrightarrow{x}=0$%. Если $%\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$%, значит $%\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{a}, \overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{b}, \overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{c}$%. Отсюда следует, что $%\overrightarrow{x}\perp (ABC)$%. Это противоречит тому что $%\overrightarrow{x}$% компланарен векторам $%\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}и \overrightarrow{c}$%. И так $%\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$%, что и требовалось доказать.