$$ |cosx-sinx|=1-sin2x $$

задан 14 Сен '13 22:13

Я имел в виду очень простую вещь: от исходного уравнения перейти к уравнению, у которого обе части возведены в квадрат: $$|\cos x-\sin x|^2=(1-\sin2x)^2.$$ В общем случае такой приём может дать лишние корни, но здесь всё корректно за счёт возможности обратного перехода. Уже после того, как новое уравнение записано, его можно начать упрощать, применяя известные школьные формулы.

(15 Сен '13 0:21) falcao

Значит ответ x=пk/2 х=п/4+2пn ??

(15 Сен '13 11:57) Amalia

@Amalia: Вы лучше покажите, как Вы решали -- тогда можно будет указать на ошибку. Если я просто укажу верный ответ, и Вы его перепишете, то от этого не будет никакой пользы.

(15 Сен '13 13:13) falcao

sin2x=0 sin2x=1 Тут значит надо отбор делать. но как? комментарии опять кончаются Так x=п/4+пk x=пk/2

(15 Сен '13 13:16) Amalia

@Amalia: никакого отбора делать не надо -- подходят обе серии. То есть $%x$% равно одному или другому, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Этот ответ и должен был получиться.

(15 Сен '13 13:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если это уравнение возвести в квадрат, то получится равносильное уравнение (за счёт того, что правая часть неотрицательна). После несложных преобразований и замены вида $%y=\sin2x$% получится квадратное уравнение.

ссылка

отвечен 14 Сен '13 22:25

Уравнение здесь одно -- то, которое дано в условии задачи. В квадрат Вы его пока не возвели, так как одна из частей осталась без квадрата, и ещё допущена опечатка. Там был синус двойного угла.

(14 Сен '13 22:39) falcao

после возведения в квадрат получится cosx-sinx=(cosx-sinx)^4 ?

(14 Сен '13 23:08) Amalia

Конечно, так не получится. Откуда может взяться четвёртая степень, и почему она будет равна первой? Возведение в квадрат -- операция чисто "механическая". Если уравнение имело вид $%A=B$%, где $%A$% и $%B$% -- какие-то выражения, то должно получиться $%A^2=B^2$% и ничего более.

(14 Сен '13 23:12) falcao

cosx-sinx=(cosx-sinx)^2 Так? и его решать?

(14 Сен '13 23:39) Amalia

Нет, не так. Речь шла о возведении уравнения в квадрат как об одном из способов решения. Я смотрю на то уравнение, которое Вы написали, и в левой части его вижу $%\cos x-\sin x$%? Но разве это квадрат? Значит, Вы сделали какое-то своё действие, а не то, которое рекомендовалось.

(14 Сен '13 23:51) falcao

@Amalia, опять не так..=( Куда у Вас девается $%(1 - sin(2x))$% ? "Ближе всего" был 1-ый Ваш комментарий - и Вам же @falcao говорил, что там было не так: Вы одну из частей уравнения в квадрат не возвели..
Было уравнение: $%\vert cos x - sin x \vert = 1 - sin (2x)$% -- значит, после возведения в квадрат должно стать уравнение: $% (cos x - sin x )^2 = ( 1 - sin (2x))^2$% -- и теперь в этом уравнении возводите в квадрат каждую часть ур-ия ( формула "квадрат разности"..)
@falcao, sorry))

(14 Сен '13 23:52) ЛисаА

я не поняла, извините (cos-sinx)^2=(cos^2x-2sinxcosx+sin^2x)^2 (cos-sinx)^2=(cosx-sinx)^4 разве не так??

(14 Сен '13 23:59) Amalia

оой.. дошло.. это я не понимала, что к чему..
@Amalia, это 2 разных способа решения.
1-ый - о котором говорил @falcao - возвести в квадрат обе части ( здесь и слева модуль, и справа - заведомо неотрицательное выражение $% 1- sin (2x) >= 0$%, поэтому при возведении в квадрат никаких лишних корней не "нахватаем" ), и потом просто смотрим, что будет, если возвести в квадраты обе части..
и 2-ой ( о котором говорил @epimkin ): можно увидеть, что выражение $%1 - sin (2x) $% само уже и есть квадратом: $%1 - sin(2x) = ( cos x - sin x)^2$%, т.е. ..(сейчас продолжу)

(15 Сен '13 0:09) ЛисаА

т.е. уравнение имеет вид: $% \vert cos x - sin x \vert = (cos x - sin x)^2$% - как решать, Вам уже написал @epimkin.. И в этом случае ничего возводить в квадрат не надо.. (если и так уже увидели квадрат..)

(15 Сен '13 0:11) ЛисаА

Такой ответ? $$ x=2\pi k $$ $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k $$

(15 Сен '13 10:43) Amalia

@Amalia: нет, ответ не такой. Там должно было получиться $%\sin2x=0$% или $%\sin2x=1$%, то есть серии получаются другие.

(15 Сен '13 11:37) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
2

В правой части у Вас (cosx-sinx)^2 Замена : левая часть равна t, t>=0 Получается t=t^2 Откуда t1=0 и t2=1 И так далее

ссылка

отвечен 14 Сен '13 23:12

А тут нужны какие нибудь условия? Может sinx<=1 ?

(15 Сен '13 8:54) Amalia

@Amalia: условие $%\sin x\le1$% выполнено автоматически.

(15 Сен '13 12:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уже всё решили... тогда до кучи не самое короткое решение...

Сворачиваем правую часть и получаем $%\left|\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right|=1-\sin(2x)$%... Затем замена $%\frac{\pi}{4}-x = t$% и формула косинуса двойного угла приводит уравнение к виду $%\left|\sqrt{2}\sin(t)\right|=2\sin^2(t)$%, которое распадается на совокупность более простых уравнений...

ссылка

отвечен 15 Сен '13 0:45

изменен 15 Сен '13 0:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ |cosx-sinx|=1-sin2x \Leftrightarrow|cosx-sinx|=|cosx-sinx|^2\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}cosx-sinx=0,\\cosx-sinx=\pm1, \end{aligned} \right. ... $$

ссылка

отвечен 15 Сен '13 11:49

а разве не нужны никакие условия?

(15 Сен '13 11:55) Amalia

Дополнительные условия не нужны.

(15 Сен '13 12:12) Anatoliy

у вас такой ответ вышел? $$ x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \\ x=2\pi n \\ x=-\frac{3\pi}{4}+\pi k $$

(15 Сен '13 12:49) Amalia

Решение первого уравнения: $%x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z$%, второго: $%x=\frac{\pi}{4}\pm\frac{\pi}{4}+ n\pi, n\in Z$%

(15 Сен '13 13:29) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×774
×77

задан
14 Сен '13 22:13

показан
2717 раз

обновлен
15 Сен '13 13:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru