Имеется 21 свободное от квадратов натуральное число, ни одно из них не делится на другое. Доказать, что имеется не менее 7 простых чисел, каждое из которых делит хотя бы одно из данных чисел.

задан 4 Янв '21 16:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сошлёмся для начала на следующую запись, где излагается доказательство некоторого факта, представляющего самостоятельный интерес.

При n=3 получаем как следствие, что если в 6-элементном множестве выделено некоторое количество подмножеств, ни одно из которых не содержится в другом, то таких подмножеств не больше C_6^3=20. По-видимому, данный факт для частного случая можно получить и при помощи ручного перебора -- нечто подобное в какой-то из задач даже происходило, но я не помню ссылку. Так или иначе, можно сослаться на общий факт.

Теперь предположим, что простых чисел участвует не больше 6. Можно считать тогда, что их 6, дополняя разложения в произведение простых числами с нулевыми показателями. Теперь каждому из чисел сопоставляем подмножество в {1,2,...,6} по принципу: i принадлежит подмножеству <=> число делится на i-е простое число. Условие делимости одного числа на другое становится равносильно тому, что одно из подмножеств содержит другое. Поскольку этого нет, то подмножеств не больше 20 -- противоречие.

ссылка

отвечен 4 Янв '21 18:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×985
×275
×175
×6

задан
4 Янв '21 16:27

показан
219 раз

обновлен
4 Янв '21 18:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru