0
2

Докажите, что уравнение $$m^k+n^k=2021$$ не имеет целочисленных решений ни при каком натуральном $%k\geqslant 2.$%

задан 6 Янв '21 1:26

изменен 6 Янв '21 1:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Показатель степени не может быть чётным, так как 2021 = 43 * 47 не является суммой двух квадратов. Это следует из общего критерия, но можно проверить и непосредственно.

Если k нечётно, то m^k+n^k делится на m+n. Случай m,n>=1 сразу можно отбросить, так как он даёт m+n>=43, и в сумме будет > 22^3, то есть очень много. Поэтому всё сводится к случаю, когда одно число положительно, а другое отрицательно. Удобно поменять знак.

Пусть m^k-n^k=2021 при нечётном k>=3. Разность m-n делит 2021. Случай m-n=1 проверяется непосредственно -- там конечное число вариантов. В противном случае m-n>=43, а тогда оставшаяся часть m^{k-1}+...+n^{k-1} не больше 47, но она явно огромная.

ссылка

отвечен 6 Янв '21 2:30

@falcao, большое спасибо!

(6 Янв '21 2:35) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,005
×175
×113
×55
×11

задан
6 Янв '21 1:26

показан
280 раз

обновлен
6 Янв '21 2:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru