множества - Пример, что произведение счетного числа открытых множеств не всегда есть открытое множество.

А что такое произведение множеств? Вы не спутали, случайно, с пересечением?

Также надо указывать, в каком пространстве происходит дело.

@falcao извините, топологическое пространство и декартово произведение, пытаюсь для большого количества Xi = R и подмножеств (0,1)

@Kirill_Karko...: в таком виде постановка вопроса бессмысленна. Если у нас есть топологическое пространство, то всякое подмножество в нём или открыто, или нет. Такой вопрос имеет смысл. Если мы берём объединения или пересечения подмножеств, то получаем снова подмножество, и про него что-то можно спрашивать.

Теперь Ваша ситуация: есть счётное множество копий числовой прямой или интервалов. Мы вправе рассмотреть их декартово произведение. Это будет некоторое новое множество. В нём можно разными способами задать топологию. Но тогда где оно должно быть открыто? Ведь X всегда открыто в X.