Утверждение: Если соединить основания двух высот треугольника ABC, то образуется треугольник, подобный данному. На рисунках отмечены углы которые равны(зеленым цветом), но я не могу доказать что они равны, помогите пожалуйста.

http://radikal.cc/Img/ShowUploadedImg?id=95b21a3c15bb477ba24817c245a63eb4 http://radikal.cc/Img/ShowUploadedImg?id=897fa06e0a9b43298ef7ee2afb29a143

задан 15 Сен '13 13:41

10|600 символов нужно символов осталось
0

@Dragon65, там 2 варианта доказательства ( хотя, может, можно придумать и еще какой-нибудь вариант =)) По обозначениям 2-ого Вашего рисунка:
1) Рассмотрите прямоуг. треугольники $%BEC$% и $%ADC$%, и запишите, как выражаются отрезки $%CE$% и $%CD$% через стороны треугольника и угол $%C$% (точнее $%cos(C)$% ); и потом запишите, чему равно отношение этих отрезков $%\frac {CE}{CD}$% ( а тогда останется "полшага" до подобия треугольников $%CDE$% и $%CAB$% )
( И из этого "1-ого способа доказательства" сразу видно, чему равен коэффициент подобия треугольников )
или 2) Обозначьте $%H$% - ортоцентр треугольника (точка пересечения высот), и рассмотрите 4-угольник $%CEHD$%: вокруг него можно описать окружность ( и Вы сами можете объяснить "почему" =)), а там, где есть описанная окружность - там есть "углы вписанные в окружность, и опирающиеся на одну и ту же дугу".. Если все рассказать - будет не интересно..)) Подсказка: например, какому углу равен угол $%CED$% ? и как потом доказать, что тот "другой" угол ( которому равен $%CED$% ) будет равен углу $%B$% (исходного треугольника $%ABC$%)? (Потом аналогично можно будет доказать и то, что угол $%CDE$% равен углу $%A$% )

(Добавлено позже) На 1-ом Вашем рисунке это "звучит" как-то так: alt text

(точку $%I$% я переобозначила через $%K$% - просто ее не видно было.. и здесь в Ваших обозначениях $%H$% - конечно, уже не ортоцентр (точки пересечения высот здесь на рисунке нет..)
А 2-ой способ доказательства здесь еще проще (чем в случае остроугольного треугольника): вокруг 4-угольника $%JKFG$% тоже можно описать окружность.. ( почему ? =))

ссылка

отвечен 15 Сен '13 14:11

изменен 15 Сен '13 15:00

По первому рисунку: 1)$%CE=BCcosC$%

$%CD=CAcosC$% $% \frac{CE}{CD}= \frac{BC}{AC} $% т.е. две стороны тр.$%EDC$% пропорциональны двум сторонам тр.$%ABC$%(кстати они пропорциональны как бы противоположно:$%\frac{AC}{CD}= \frac{BC}{CE}$%- это ни на что не влияет, всё равно они подобны =)? ) Коэффициент подобия равен $%cosC$% И раз уже заключение сделано, что они подобны, это уже значит что угол $%B$%=углу$%CED$%?

(15 Сен '13 15:16) Dragon65

Второй способ, мне кажется, наиболее предпочтителен, так как является самым простым.

(15 Сен '13 15:17) falcao

@Dragon65, да, всё так, как Вы сейчас написали ( признак подобия по двум сторонам (двум парам сторон) и углу между ними - и уже сказав, что треугольники подобны - можно говорить и о равенстве других углов ( о которых не говорили при доказательстве). А можно и свести к признаку подобия "по углам" ( 2-ой способ). @falcao, мне самой больше нравится доказательство с помощью окружности ( хотя в случае остроугольного треугольника оно не смотрится проще) - но там не сразу видно, что коэффициент подобия = косинусу..
да и в любом случае - доказательства "не помешают" оба.. ))

(15 Сен '13 15:46) ЛисаА

|да и в любом случае - доказательства "не помешают" оба.. ))| - полностью согласен. Вот смотрите, в первом доказательстве сделали вывод что тр. подобны, а ведь неизвестно какой угол какому равен, это вывести нужно да? Подумал над вторым: проведем 3-ю высоту из точки $%C$% до пересечения с $%AB$% в точке $%P$% около четырех.$%CEHD$%можно описать окружность, потому чтоу него два противоп. угла по $%90$% градусов.Проведя 3-ю высоту получим по 2 вписанных угла на каждой хорде, которые равны. рассмотрим тр.$%ABE$% :

(15 Сен '13 16:30) Dragon65

В нем угол $%ABE$% равен $%90-A$% откуда угол $%BHP$%равен A и дальше имеются вертикальные углы и тут же вписанные углы, откуда найдется,что угол $%CDE=A$% и сразу угол $%CED=B$% (либо можно через угол$%B$% вначале рассмотреть) А насчет подобия да, тут не видно что он равен $%cosC$%

(15 Сен '13 16:32) Dragon65

@Dragon65, а в 1-ом способе мы же можем установить, какой угол какому соответствует ( и равен )- по соответствиям сторон.. (т.е. установили, какая сторона какой соответствует - а значит, равные углы -между соответствующими сторонами..) Про 2-ой способ - да, пишете все верно=) только углы $%BHP$% и $%CHE$% - вертикальные ( а не "накрест лежащие"=) )
И да, если про 2 пары углов знаем, что они соответственно равные - то 3-ему "деваться некуда" ( 180 минус те два)

UPD sorry) я убежала.. (буду часов через 5)

(15 Сен '13 16:36) ЛисаА
1

@Dragon65: если говорить о втором способе, то там можно рассуждать так. Построим на $%AB$% окружность как на диаметре. Точки $%D$%, $%E$% на неё попадут, так как являются вершинами прямых углов, опирающихся на диаметр. Далее сравниваем величины углов $%BAC$% и $%EDC$%: они равны, так как дают $%180$% градусов в сумме с одним и тем же углом $%EDB$%.

(15 Сен '13 19:10) falcao

|Точки $%D$%, $%E$% на неё попадут, так как являются вершинами прямых углов..|-это интересный вывод, а скажите, чтобы доказать, что точки $%D$% и $%E$% попадут на окружность ваше доказательство единственно, или ещё как-то можно? (допустим через то, что суммы противолежащих углов в вписанном четырехугольнике равны $%180$% - но тут прямые углы дополняют углы $%ADE и DEB$%, как быть?)

(15 Сен '13 19:35) Dragon65

@Dragon65: здесь используется одно из очень простых и "ходовых" свойств окружности, причём для каждой из оснований высот причина попадания на окружность одна и та же. Уже из этого следует вписанность четырёхугольника. Способов доказательств всегда бывает много (например, можно использовать метод координат), но более простые способы, как правило, предпочтительнее.

(20 Сен '13 17:49) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×560

задан
15 Сен '13 13:41

показан
1048 раз

обновлен
20 Сен '13 17:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru