У меня есть пример в котором я хочу полностью разобраться. У меня есть три точки с известными координатами: $$A(a_x,a_y),B(b_x,b_y),C(c_x,c_y).$$ Мне нужно при помощи векторов, в угол образующейся этими точками вписать окружность. Для начала я нахожу два вектора: $$ac(a_x-c_x,a_y-c_y),bc(b_x-c_x,b_y-c_y)$$ Затем я нормирую их: $$length_0=sqrt(ac_x\cdot ac_x+ac_y\cdot ac_y);$$ $$invLength_0=1/length_0;$$ $$norm_0=ac(ac_x\cdot invLength_0,ac_y\cdot invLength_0);$$ И точно так же со вторым вектором. И вот с этого момента мне без Вашей помощи не как, если можно, прокомментируйте пожалуйста, как можно более подробнее... В примере происходит следующее: Создаётся новый вектор, назовём его биссектриса: $$bisector(norm_0x+norm_1x,norm_0y+norm_1y);$$ Далее создаётся ещё одна переменная, назовём её normRatio: $$normRatio=radius/(bisector_x\cdot norm_0y-bisector_0y\cdot norm_0x$$ Далее умножаем биссектрису на normRatio: $$bisector_x\cdot =normRatio;$$ $$bisector_y\cdot =normRatio;$$ И далее мы находим вектор с координатами центра окружности, назовём его center: $$centr(C_x+bisector_x,C_y+bisector_y);$$ Обьясните пожалуйста, по каким правилам, происходит поиск вектора с координатами центра вписанной окружности, чтобы я почитал и разобрался. alt text

Переправил формулы, ошибка была вызвана моей невнимательностью. И после того как появились ранее не видимые формулы, ещё хочу добавить, что точка О мне не известна. Я её как раз и ищу.

задан 15 Сен '13 15:06

изменен 16 Сен '13 22:25

Deleted's gravatar image


126

@shatal: этот редактор специфически устроен. "Звёздочки" служат для выделения текста жирным шрифтом. Поэтому в формулах их следует избегать. Знак умножения, если он вообще нужен, можно передавать точкой, что делается командой \cdot. Если непременно нужна "звёздочка", то можно задавать её командой \ast.

(15 Сен '13 15:22) falcao

Нарушения в отображении формул могут быть еще от знаков подчеркивания. Они оьощначают и нижний индекс и, в паре - курсивный текст.

(15 Сен '13 17:44) DocentI

@shatal: на всякий случай хочу заметить, что в моих обозначениях искомая точка -- это $%I$% (от слова "инцентр"), а в качестве $%O$% (в использованных мной обозначениях) можно брать любую из точек. Например, точку $%C$%.

(15 Сен '13 19:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для этого всего есть готовые формулы.

Рассмотрим треугольник $%ABC$%, и стандартно обозначим длины его сторон через $%a$%, $%b$%, $%с$% (сторона длиной $%a$% противолежит вершине $%A$%, как обычно).

Пусть $%I$% -- точка пересечения биссектрис треугольника, она же -- центр вписанной окружности. Тогда для радиус-вектора точки $%I$% справедливо такое равенство: $$\vec{OI}=\frac{a}{a+b+c}\vec{OA}+\frac{b}{a+b+c}\vec{OB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{OC}.$$ В качестве точки $%O$% можно выбирать любую удобную точку. Например, если положить её равной $%C$%, то третье слагаемое в формуле исчезает, а векторы $%\vec{OA}$% и $%\vec{OB}$% заменятся на $%\vec{CA}$% и $%\vec{CB}$% соответственно.

Зная координаты точек $%A$%, $%B$% и $%C$% (в любой системе координат), легко найти все попарные расстояния между ними по известной формуле. После чего радиус-вектор точки $%I$% (с любым началом) сразу выписывается.

ссылка

отвечен 15 Сен '13 15:35

@shatal: да, если окружность вписана в треугольник, то она вписана в каждый из его углов, то есть такая конструкция подходит. Считать там, кстати, нужно совсем немного: фактически, три расстояния. Если нужно просто найти точку на биссектрисе угла, то ещё проще. Берём стороны угла как векторы, нормируем их (то есть делим каждый на длину). Далее эти векторы складываем. Поскольку длины были одинаковыми, направление суммы будет то же, что и у биссектрисы. Координаты искомой точки (конца вектора) находятся как координаты его начала плюс координаты самого вектора.

(15 Сен '13 18:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Центр вписанной окружности расположен на биссектрисе... и Ваш вектор $$\vec{bisector} = \frac{\vec{CA}}{|\vec{CA}|}+\frac{\vec{CB}}{|\vec{CB}|}=\vec{n}_0+\vec{n}_1$$ как раз и является её направляющим вектором. Центр окружности имеет координаты $%O=C+\alpha\cdot\vec{bisector}$%, где $%\alpha = normRatio \ge 0$% - число подлежащее определению по радиусу окружности, который, как я понимаю, Вам задан...

Для нахождения $%\alpha$% у Вас имеют место следующие рассуждения...

Вычисляется площадь параллелограмма, построенного на векторах $%\vec{bisector}$% и $%\vec{n}_0$% ... она равна $$S = b_x n_y-b_y n_x$$ (это был один из вопросов, задаваемых Вами ранее)...

Поскольку $%|\vec{n}_0|=1$%, то высота параллелограмма, опущенная на $%\vec{n}_0$% равна площади, то есть $%S=h$%... Это означает, что если центр окружности будет располагаться в точке, которая является концом вектора $%\vec{bisector}$%, выпущенного из точки $%C$%, то её радиус будет равен $%h$%...

А дальше находим коэффициент подобия, при котором из этой высоты получим радиус окружности $%\alpha\cdot S = radius$% откуда и получаем $$normRatio=\frac{radius}{bisector_x\cdot norm_{0y}-bisector_y\cdot norm_{0x}}$$

Ну, немного сбивчиво... и без рисунка, конечно, не очень наглядно... но уж как получилось...

==============================

UPD: А вот и рисунок

alt text

==========================

UPD: А вот и рисунок 2... Интересующий Вас параллелограмм $%CEGJ$%...

alt text

ссылка

отвечен 15 Сен '13 18:56

изменен 17 Сен '13 15:02

@shatal: если Вам не важно положение точки на биссектрисе, то совершенно не обязательно, чтобы длины складываемых векторов были равны 1. Они могут иметь какую угодно длину (и меньшую, и большую) -- лишь бы она была одинаковой. Для примера: пусть два вектора имеют координаты $%(3,-4)$% и $%(12,5)$%. Длина первого вектора равна $%5$%, длина второго равна $%13$%. Можно поделить векторы на длины, и тем самым их нормировать, но получатся дробные величины. Вместо этого я могу умножить первый вектор на $%13$%, второй на $%5$%, и сложить. Получится $%(99,-27)$%, что можно заменить на $%(11,-3)$%.

(16 Сен '13 19:28) falcao

@shatal: у Вас был вопрос, как найти координаты точки на биссектрисе угла. Сейчас Вы строите какой-то параллелограмм, но нигде не объяснено, зачем он строится, и по каким правилам. Чтобы понять, что с чем должно было совпадать, но не совпадает, желательно задать отдельный вопрос.

(17 Сен '13 1:57) falcao

@shatal, на первом рисунке стоит параллелограмм, площадь которого записана в знаменателе формулы для $%normRatio$%... только высоту параллелограмма, которая будет пропорциональна радиусу надо опускать на прямую $%CA$%...

Кстати, этот параллелограмм и тот, что на моём рисунке имеют одинаковую площадь и соответствующую высоту... поэтому в знаменателе уже упомянутой формулы можно писать произведение векторов $%\vec{n}_0$% и $%\vec{n}_1$% ...

(17 Сен '13 2:03) all_exist

@shatal, Мдя... "великовата кольчужка"(с) ... Сторонами параллелограмма являются векторы $%\vec{bisector}$% и $%\vec{n}_1$%... на них и стройте параллелограмм, как при сложении векторов...

(17 Сен '13 14:49) all_exist

@all_exist: Спасибо Вам за обьяснения! Сейчас я себя чувствую просто очень глупым, но и понял как обьяснить почему у меня не получается. У Вас высота равна длине отрезка $$EF$$ , а я во всех учебниках и на всех картинках вижу, что высота должна начинаться в точке $$E$$ и заканчиваться на отрезке $$JG$$. Разве это не так? И разве высота не должна быть перпендикулярна противолежащей стороне параллелограмма?

(17 Сен '13 16:02) shatal

@shatal, И разве высота не должна быть перпендикулярна противолежащей стороне параллелограмма? - Должна... только противолежащая сторона к вершине $%E$% это $%CJ$% ... а прямая $%CA$% является её продолжением, на которую и опускают высоту...

Про рисунке в учебниках ничего сказать не могу, поскольку не вижу этих рисунков... может непропечетатка...

(17 Сен '13 16:13) all_exist

Спасибо Вам! Теперь я ( наверное ) понял! ( Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 кл )

(17 Сен '13 16:29) shatal

@shatal, welcome...

(17 Сен '13 17:33) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,328
×179

задан
15 Сен '13 15:06

показан
2366 раз

обновлен
17 Сен '13 17:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru