alt text

задан 10 Янв 17:11

изменен 10 Янв 17:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$G (x,y,z,p)= (xy+yz+zp+px+xz+yp)^2-xyzp (x^2+y^2+z^2+p^2)$$

Пусть минимум $%G (x,y,z,p)$% при условии $%x+y+z+p=12 \ \ \ x,y,z,p \ge 0$% достигается в точке $%(a, b,c,d)$%.

1) $%(a>b\ge c\ge d > 0)$% или $% (0 < a < b \le c \le d)$%

$$f_1 (t)=G (a+t,b,c,d-t)$$

Это преобразоване не меняет условие $%a+b+c+d=12$% и поскольку $%(a, b,c,d)$% - точка минимума $%\Rightarrow f_1 '(0)=0$%

$$f_1' (0)=(a-d)\cdot(\ bc (a^2+b^2+c^2+d^2)-2 (ab+bc+cd+da+ac+bd)-2abcd\ )$$

$$\Rightarrow bc (a^2+b^2+c^2+d^2)=2 (ab+bc+cd+da+ac+bd)+2abcd \ \ \ (1)$$

Аналогично для преобразований : $%\ f_2 (t)=G (a+t, b,c-t,d)$% и $%\ f_3 (t)=G (a+t,b-t,c,d))$% получаем:

$$ bd(a^2+b^2+c^2+d^2)=2 (ab+bc+cd+da+ac+bd)+2abcd \ \ \ (2)$$ $$ cd(a^2+b^2+c^2+d^2)=2 (ab+bc+cd+da+ac+bd)+2abcd \ \ \ (3)$$ $%(1), (2),(3) \Rightarrow $% что если $%(a> b\ge c\ge d>0)$% или $% (0 < a < b \le c \le d) $% - точка минимума $%G (x,y,z,p)$%, то должно выполняться условие: $% \ b=c=d$%

$$g (t)=G (12-3t,t,t)=36 (t-2)^2 (t-3)^2 \ge 0$$

Равенство в этом случае достигается в точке :$%\ (2,2,2,6)$%

2) $%(a=b \le c=d)$%

$$g (t)=G (t,t,6-t,6-t)=4 (t-3)^2 (-t^4+12t^3-44t^2+48t+36) \ge 0 \ \ \ ( 0\le t \le 3)$$

Равенство в этом случае достигается в точке:$%\ (3,3,3,3)$%

3) $%\ (a=0)$%

Равенство в этом случае достигается в точке: $%\ (0,0,0,12) $%

ссылка

отвечен 2 дня назад

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×285
×6

задан
10 Янв 17:11

показан
48 раз

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru