|
Сколько существует матриц размера n на n с определителем 1 над полем из q элементов? задан 11 Янв 15:29 
Сулейман |
|
Такого типа задачи были много раз. Для начала надо найти число невырожденных матриц. Первая строка выбирается q^n-1 способом (любой ненулевой вектор). Вторая q^n-q способами (любой вектор, не принадлежащий линейной оболочке первого вектора). Третья q^n-q^2 способами (любой вектор, не принадлежащей линейной оболочке первых двух). И так далее. Для n-й строки имеем q^n-q^{n-1} способов. Эти числа перемножаем. Получаются все невырожденные матрицы. Умножая первую строку на любой из q-1 ненулевых элементов поля, мы получаем для каждой из матриц все ненулевые значения определителя, так как q-1 ненулевых элементов образуют группу. Значит, все значения определителей встречаются одинаково часто. Осталось разделить произведение на q-1. отвечен 11 Янв 21:26 
falcao @falcao, если можно, не могли бы Вы объяснить поподробнее, почему все определители возникают с одинаковой частотой?
(13 Янв 3:01)
Сулейман
@Сулейман: я это уже объяснил в ответе. Можно ещё так: в группе GL(n,q) невырожденных матриц имеется подгруппа SL(n,q) из матриц с определителем 1. Смежные классы по подгруппе состоят из матриц с одинаковым определителем, и их имеется q-1. При доказательстве теоремы Лагранжа о подгруппах устанавливается, что в каждом из смежных классов поровну элементов. Это если более формально. А на "сермяжном" уровне -- при помощи домножения первой строки на ненулевые коэффициенты.
(13 Янв 3:21)
falcao
|