Сколько существует матриц размера n на n с определителем 1 над полем из q элементов?

задан 11 Янв 15:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Такого типа задачи были много раз. Для начала надо найти число невырожденных матриц. Первая строка выбирается q^n-1 способом (любой ненулевой вектор). Вторая q^n-q способами (любой вектор, не принадлежащий линейной оболочке первого вектора). Третья q^n-q^2 способами (любой вектор, не принадлежащей линейной оболочке первых двух). И так далее. Для n-й строки имеем q^n-q^{n-1} способов. Эти числа перемножаем. Получаются все невырожденные матрицы.

Умножая первую строку на любой из q-1 ненулевых элементов поля, мы получаем для каждой из матриц все ненулевые значения определителя, так как q-1 ненулевых элементов образуют группу. Значит, все значения определителей встречаются одинаково часто. Осталось разделить произведение на q-1.

ссылка

отвечен 11 Янв 21:26

@falcao, если можно, не могли бы Вы объяснить поподробнее, почему все определители возникают с одинаковой частотой?

(13 Янв 3:01) Сулейман

@Сулейман: я это уже объяснил в ответе. Можно ещё так: в группе GL(n,q) невырожденных матриц имеется подгруппа SL(n,q) из матриц с определителем 1. Смежные классы по подгруппе состоят из матриц с одинаковым определителем, и их имеется q-1. При доказательстве теоремы Лагранжа о подгруппах устанавливается, что в каждом из смежных классов поровну элементов.

Это если более формально. А на "сермяжном" уровне -- при помощи домножения первой строки на ненулевые коэффициенты.

(13 Янв 3:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,850

задан
11 Янв 15:29

показан
63 раза

обновлен
13 Янв 3:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru