На каждой прямой $%l$% из $%{R}^n$%, $%n \geq 2$%, проходящей через начало координат выбрана точка $%a(l)$% таким образом, что $%a(l)$% непрерывно зависит от $%l$%. Требуется доказать, что хотя бы на одной прямой выбрано начало координат.

Как понять что точка непрерывно зависит от прямой? точки на близких прямых близки?

задан 11 Янв 16:10

изменен 11 Янв 21:54

Это должно объясняться там, откуда задача. Т.е. это либо часть постановки задачи, либо контекст, известный откуда-то заранее.

(11 Янв 16:41) caterpillar

Задача сама по себе. Из задач для подготовки к гос экзамену.

(11 Янв 16:43) Fedotovvv

Да, на прямых задаётся топология, и точки на близких прямых выбираются близко. То есть формализация тут легко осуществляется. Мне непонятно другое: начало координат можно переместить, то есть получается, что все точки из R^n должны быть выбраны?

(11 Янв 22:48) falcao

@falcao мне думается начало координат зафиксировано

(11 Янв 23:50) Fedotovvv

@Fedotovvv: предположим, что утверждение верно. Тогда при выборе точек согласно условию, точка (0,0) будет выбрана. Чем она отличается от любой другой точки? Систему координат можно разместить где угодно.

(12 Янв 1:21) falcao
1

@falcao, все прямые по условию проходят через начало координат

(12 Янв 11:38) spades

@spades: я этого момента не заметил, и поэтому показалось странно. Тогда задача намного проще (включая даже способ формализации).

(12 Янв 15:19) falcao

@Fedotovvv: тут обратили внимание на то, что прямые берутся не все, а только проходящие через начало координат. Тогда решение такое: для каждого луча имеем координату точки, выбранной на прямой, содержащей этот луч. Когда луч меняет направление, координата меняет знак. Если прохождения через 0 нет, то знак нигде не должен меняться. Но он меняется.

(12 Янв 15:22) falcao

@falcao: а что значит направление луча? У нас же только 1 точка берется на прямой. Причем тут луч?

(17 Янв 18:34) Fedotovvv

@Fedotovvv: прямая, проходящая через O, состоит из двух лучей. На ней выбрана одна точка. Если положительным направлением был один луч, и точка имела на нём координату a, то при смене направления она же будет иметь координату -a. Такое число непрерывно зависит от луча, который постепенно поворачивается, и величина при этом меняет знак. Поэтому она проходит через 0.

(17 Янв 21:29) falcao

@falcao разобрался, спасибо. Тут действительно с этой "близкостью" прямых как-то туманно сформулировано

(17 Янв 22:36) Fedotovvv

@Fedotovvv: формулировка здесь строгая вполне. Прямые, проходящие через O, образуют топологическое пространство RP^n. Степень близости прямых можно определить через угол между ними.

Здесь надо было только заметить, что задачу достаточно решить для R^2 (что было сделано), а в R^n проводим любую плоскость через O, и уже в её пределах будет прохождение через начало координат.

Чуть сложнее было бы задать близость всех прямых пространства, но и это в принципе не так сложно.

(18 Янв 1:23) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,930
×358

задан
11 Янв 16:10

показан
122 раза

обновлен
18 Янв 1:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru