Здравствуйте, задал недавно вопрос о сумме ряда - просто я не математик и давно учился, а с задачей попросил помочь знакомый студент; я не думаю, что там что-то сложнее основ в плане анализа; просто из-за ответов я ещё больше запутался - как понял, в ответах говорится, что из признака Коши следует, что если соседние частичные суммы отличаются меньше чем на эпсилон, то и оценка ряда имеет такую же точность, но в то же время писали, что сумму остатка оценивать сложнее - хотел уточнить, разве когда мы говорим, что посчитали сумму ряда с точностью эпсилон, это не то же самое, что модуль суммы остатка не больше эпсилон?

задан 11 Янв 19:51

Во-первых, не сумму остатка, а просто остаток. Остаток -- это уже сумма. Во-вторых, если вы посчитали сумму ряда с требуемой точностью, то, естественно, это даст и оценку остатка. В таком порядке. Вы же хотите сперва как-то оценить остаток, а потом по нему посчитать сумму ряда. В общем случае так сделать не получится. Для рядов Фурье, с привлечением некоторой дополнительной информации (ограниченности), остаток оценить можно, не вычисляя сперва сумму самого ряда, но в той задаче дополнительной информации не было. И вообще, желательно знать, это задача из анализа или из численных методов?

(11 Янв 20:31) caterpillar

А, теперь понял , спасибо - речь шла об оценке сразу по номеру n; нет, я имел в виду оценку по уже подсчитанной сумме, как понял об этом явно нигде не пишется (об этом следствии из теоремы Коши), п.ч это неэкономный способ и нужно заранее знать что ряд сходится чтобы это применять, да? Задача как понял просто по языку программирования, другие там никак к анализу не относились

(11 Янв 20:41) mathew23

Если сумма уже посчитана, то зачем вообще говорить про какой-то остаток. Если это задача по численным методам, то сгодится метод с пересчётом с исходной и половинной погрешностью. По степени близости ответов можно судить, насколько ответ точен. То, что ряд сходится, нужно всегда знать заранее, иначе не имеет смысла его вычислять.

(11 Янв 20:45) caterpillar

ПС прошу прощения, кажется понял как сформулировать что именно не понимаю - разве то, что Вы написали в прошлом вопросе про следствие критерия Коши, не даёт оценку остатка сразу же, без подсчёта частичной суммы? Ведь модуль разности соседних частичных сумм это как раз следующий элемент ряда

(11 Янв 22:21) mathew23

Плюс критерий Коши ведь говорит, что все разности должны быть меньше эпсилон после некоторого номера, а мы в коде находим только первую разность меньше эпсилон, как мы можем быть уверены что где-то дальше не найдётся большей разности?

(11 Янв 22:26) mathew23

Вы путаете вычислительную задачу с аналитической. Ваша -- первая. Сумму ряда можно вычислить "точно" следующим образом: ищем первый член ряда, по модулю меньший или равный машинного нуля -- до него и суммируем. Найденную сумму принимаем за точное значение (точнее всё равно при вычислениях не будет), а потом отсекаем до нужной точности, заодно получая оценку и остатка, если надо. Потому что остаток -- это разность суммы и частичной суммы -- и только так. Всё остальное -- суррогаты...

(12 Янв 4:57) caterpillar

Спасибо, ну так-то конечно точнее не посчитаешь, но в задании было именно с заданной точностью посчитать, и вот здесь не понял Ваш ответ про критерий Коши - по нему (если правильно помню) если все разницы частичных сумм после некоторого n не провосходят эпсилон, то и сумму ряда оценивает эпсилон; но почему найдя первую разность с модулем меньше эпсилон мы можем быть уверены что дальше не встретится с большим модулем? Или я неправильно понял Ваш ответ про то, как применять критерий Коши для вычисления с заданной точностью?

(12 Янв 7:07) mathew23

Не можете быть уверены, в том и проблема. Это просто один из вариантов вычислений, который надо ещё контролировать. А вот в чём проблема посчитать с максимальной точностью, а потом округлить, как Вам надо -- я не понимаю...

(12 Янв 7:47) caterpillar

Ну в том, что это задание учебное, и не по численным методам, а просто по программированию, один из примеров (другие никак с матанализом не связаны).. мне что-то кажется , у составителя просто путаница возникла, а собирался он именно на признак Лейбница сделать задание (хотя мб ошибаюсь конечно, просто думаю судя по др задачам должно быть что-то простое, а у меня за 2 дня ясности совсем не появилось, но мб это я что-то не понимаю ,в любом случае простите что столько вопросов)

(12 Янв 11:57) mathew23

Так я Вам предложил два чисто программистских решения. Вопросы, почему, уже из другой области.

(12 Янв 12:29) caterpillar
1

Насколько я понял, ваша задача посчитать сумму ряда с некой точностью. Вы берете несколько членов, а с помощью остаточного члена ряда определяете погрешность с какой нашли. Насколько я понял, вы хотите определять погрешность именно по последнему рассчитанному члену ряда, но так делать нельзя, за некоторым исключением. То есть в общем по данной погрешности и формуле остаточного члена вы должны посчитать, сколько членов ряда вам понадобится, а затем просуммировать нужное количество членов ряда. Исключение составляют монотонные знакопеременные ряды - остаток оценивается именно последним членом.

(12 Янв 13:33) spades
1

@spades, сам ряд приведён по ссылке в вопросе. Речь о ряде Фурье. Понятно, что оценивать через первый отброшенный член ряда некорректно, нет такого в теории. Но тут вопрос чисто программистский. Тем более, что члены ряда по модулю убывают достаточно медленно, и есть надежда, что по достижении заданной точности знаменатель забьёт всё остальное. Что тут, собственно, и происходит. Было предложено параллельно следить ещё за результатом, если бы точность была половинной, а также посчитать с самой высокой точностью (машинное эпсилон), а потом округлить. Думаю, что-то из этого тут и имелось ввиду.

(12 Янв 14:51) caterpillar

@caterpillar, не обратил внимания на ссылку. Прошу прощения, тогда мой комментарий не в тему

(12 Янв 15:12) spades
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,732
×796

задан
11 Янв 19:51

показан
69 раз

обновлен
12 Янв 15:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru