|
Пусть $%f: [0, +\infty) \rightarrow [0, +\infty)$% - монотонная функция и пусть $%\int_0^{+\infty}f(x)dx$% сходится. Доказать $$\lim\limits_{x\to +\infty} xf(x)=0$$ Есть ли простое решение у этой задачи? задан 11 Янв 23:44 
Региомонтан |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
11 Янв 23:44
показан
82 раза
обновлен
15 Янв 0:11
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
от противного вроде...
Можно считать, что f(x) стремится к нулю -- остальные случаи легко приводят к противоречию. Меняя знак, можно считать, что f(x)>=0. По критерию Коши, интеграл от a/2 до a по модулю меньше eps/2 при достаточно большом a. На отрезке [a/2,a] функция всюду >=f(a). Значит, af(a)/2 < eps/2 при a >> 1.
@falcao давайте обсудим пожалуйста? Почему можно считать, что f(x) стремится к нулю? Вы имеете в виду убывает функция? Она по условию монотонная
@Региомонтан: если функция не ограничена, то она стремится к бесконечности. Тогда несобственный интеграл от неё расходится. Если она ограничена, то в силу монотонности стремится к пределу. Если предел на бесконечности равен не нулю, то очевидно, что несобственный интеграл сходиться не может.
Здесь мы просто отбрасываем случаи, которых заведомо быть не может. А менять знак там даже не надо, так как уже дано f(x)>=0. То есть она монотонно убывает, стремясь к нулю.
@falcao благодарю за комментарии