Пусть $%f: [0, +\infty) \rightarrow [0, +\infty)$% - монотонная функция и пусть $%\int_0^{+\infty}f(x)dx$% сходится. Доказать $$\lim\limits_{x\to +\infty} xf(x)=0$$

Есть ли простое решение у этой задачи?

задан 11 Янв 23:44

изменен 11 Янв 23:53

от противного вроде...

(11 Янв 23:51) all_exist

Можно считать, что f(x) стремится к нулю -- остальные случаи легко приводят к противоречию. Меняя знак, можно считать, что f(x)>=0. По критерию Коши, интеграл от a/2 до a по модулю меньше eps/2 при достаточно большом a. На отрезке [a/2,a] функция всюду >=f(a). Значит, af(a)/2 < eps/2 при a >> 1.

(12 Янв 1:28) falcao

@falcao давайте обсудим пожалуйста? Почему можно считать, что f(x) стремится к нулю? Вы имеете в виду убывает функция? Она по условию монотонная

(14 Янв 23:45) Региомонтан

@Региомонтан: если функция не ограничена, то она стремится к бесконечности. Тогда несобственный интеграл от неё расходится. Если она ограничена, то в силу монотонности стремится к пределу. Если предел на бесконечности равен не нулю, то очевидно, что несобственный интеграл сходиться не может.

Здесь мы просто отбрасываем случаи, которых заведомо быть не может. А менять знак там даже не надо, так как уже дано f(x)>=0. То есть она монотонно убывает, стремясь к нулю.

(14 Янв 23:54) falcao

@falcao благодарю за комментарии

(15 Янв 0:11) Региомонтан
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,736

задан
11 Янв 23:44

показан
82 раза

обновлен
15 Янв 0:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru