Какие есть несложные примеры семейства функций, которые являются и не являются равностепенно непрерывными на отрезке.

задан 12 Янв 12:13

t^n и sin(t/n) на [0,1] при натуральном n. Кто есть кто подумайте сами.

(12 Янв 12:27) caterpillar
1

Если совсем по-простому, то пусть будет nt и t/n.

(12 Янв 15:07) caterpillar

@caterpillar, я наверное не очень понимаю. Но в первом случае можно положить $%\delta=\frac{\varepsilon}{n}$%, а во втором $%\delta=n \varepsilon$%

(12 Янв 16:31) Mish12

Дельта не должна зависеть от n. Просто запишите определение равностепенной непрерывности и его отрицание. В первом случае надо взять конкретные точки, например, t1=0, t2=1/n и увидеть, что выполняется отрицание при eps=1. Во втором случае |t1-t2|/n<=|t1-t2|<eps при delta=eps.

(12 Янв 16:41) caterpillar

@caterpillar, а вот в теореме Арцела-Асколи говорится об ограниченности множества семейства функций. Как это можно вообще понимать?

(12 Янв 17:54) Mish12

Понимайте как равномерную ограниченность, т.е. наличие такой константы, которая не зависит ни от аргумента, ни от параметра и ограничивает все функции сразу. Например, |sin(nt)|<=1, независимо ни от t ни от n.

(12 Янв 17:56) caterpillar

@caterpillar, тогда по теореме Арцела-Асколи семейство функций {t/n} на [0,1] ограничено сверху константой 1 и равностепенно непрерывно, поэтому данное множество предкомпактно.

(12 Янв 18:00) Mish12

Да, я в курсе))

(12 Янв 18:01) caterpillar

@caterpillar, забыл поставить знак вопроса) А можно ли как-то применить этот критерий в другую сторону?

(12 Янв 18:09) Mish12

Раз это критерий, то он работает в обе стороны... Что бы Вы ни имели ввиду...

(12 Янв 18:10) caterpillar

@caterpillar, Понимаю, просто не очень понятно, можно ли вообще как-то без теоремы Арцела-Асколи доказать, что данное семейство функций является предкомпактом(либо вообще доказать, что какое-то семество функций является предкомпактом)

(12 Янв 18:19) Mish12

Конечно, можно. Это множество представляет собой просто последовательность, равномерно сходящуюся к нулю, поэтому любая её подпоследовательность сходится. Либо можно явно построить конечную эпсилон-сеть вида {0, x1,..., xN}, где N таково, что для всех n>N ||xn||<eps.

(12 Янв 18:27) caterpillar

@caterpillar, большое спасибо

(12 Янв 18:33) Mish12
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,736

задан
12 Янв 12:13

показан
65 раз

обновлен
12 Янв 18:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru