|
Какие есть несложные примеры семейства функций, которые являются и не являются равностепенно непрерывными на отрезке. задан 12 Янв 12:13 
Mish12
показано 5 из 13
показать еще 8
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
12 Янв 12:13
показан
65 раз
обновлен
12 Янв 18:33
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
t^n и sin(t/n) на [0,1] при натуральном n. Кто есть кто подумайте сами.
Если совсем по-простому, то пусть будет nt и t/n.
@caterpillar, я наверное не очень понимаю. Но в первом случае можно положить $%\delta=\frac{\varepsilon}{n}$%, а во втором $%\delta=n \varepsilon$%
Дельта не должна зависеть от n. Просто запишите определение равностепенной непрерывности и его отрицание. В первом случае надо взять конкретные точки, например, t1=0, t2=1/n и увидеть, что выполняется отрицание при eps=1. Во втором случае |t1-t2|/n<=|t1-t2|<eps при delta=eps.
@caterpillar, а вот в теореме Арцела-Асколи говорится об ограниченности множества семейства функций. Как это можно вообще понимать?
Понимайте как равномерную ограниченность, т.е. наличие такой константы, которая не зависит ни от аргумента, ни от параметра и ограничивает все функции сразу. Например, |sin(nt)|<=1, независимо ни от t ни от n.
@caterpillar, тогда по теореме Арцела-Асколи семейство функций {t/n} на [0,1] ограничено сверху константой 1 и равностепенно непрерывно, поэтому данное множество предкомпактно.
Да, я в курсе))
@caterpillar, забыл поставить знак вопроса) А можно ли как-то применить этот критерий в другую сторону?
Раз это критерий, то он работает в обе стороны... Что бы Вы ни имели ввиду...
@caterpillar, Понимаю, просто не очень понятно, можно ли вообще как-то без теоремы Арцела-Асколи доказать, что данное семейство функций является предкомпактом(либо вообще доказать, что какое-то семество функций является предкомпактом)
Конечно, можно. Это множество представляет собой просто последовательность, равномерно сходящуюся к нулю, поэтому любая её подпоследовательность сходится. Либо можно явно построить конечную эпсилон-сеть вида {0, x1,..., xN}, где N таково, что для всех n>N ||xn||<eps.
@caterpillar, большое спасибо