В википедии дается определение сигма-алгебры через семество подможеств множества X. Правильно ли я понимаю, что это множество X называется единицей системы подмножеств?

задан 12 Янв 13:42

@Vas12: ну, можно и так назвать, только какое это имеет значение? Суть в том, что операцию пересечения часто записывают без знака, то есть AB для пересечения множеств A,B. Поскольку X универсально (всё в нём содержится), получается AX=A для любого подмножества. Поскольку внешне это выглядит как произведение, X по своим свойствам напоминает единицу для чисел. Поэтому где-то могут назвать и так.

(12 Янв 14:39) falcao

@Vas12, сигма алгебра -- это сигма-кольцо с единицей, я думал это общепринятое определение)

(12 Янв 14:47) caterpillar

О каком конкретном случае речь? Единица -- это элемент кольца, содержащий в себе любой элемент этого кольца.

(12 Янв 15:49) caterpillar

Вот у нас есть множество X и семейство его подмножеств, которые удовлетворяют аксиомам сигма-алгебры. Тогда кольцо - семейство подмножеств, а X - единица системы подмножеств?

(12 Янв 15:57) Vas12

Если X само является элементом кольца, то да. Только у Вас какая-то путаница в определениях. Система множеств называется кольцом, если выполнены аксиомы. Если в кольце есть множество, содержащее все элементы кольца, то это единица. Кольцо с единицей называется алгеброй. Если к аксиомам кольца добавляется аксиома, связанная со счётными объединениями, то получаем сигма-кольцо. Если в нём есть единица, то это сигма-алгебра. Если при этом есть некое универсальное множество, но оно не является элементом кольца, то это не будет единицей.

(12 Янв 16:14) caterpillar

@caterpillar, а не подскажете, почему множество всех полуинтервалов является кольцом, там же не выполняются первая и третья аксиомы?

(12 Янв 16:54) Vas12

Номера аксиом ничего не говорят. К тому же, в каждом курсе набор аксиом может быть различным. Эта система не является кольцом, однако, является полукольцом.

(12 Янв 17:02) caterpillar

@caterpillar, ой да, полукольцом. Во-первых, пустое множество не входит. Во-вторых не выполняется аксиома о том, что если один полуинтервал - подмножество другого, то подмножество можно "догнать" дизъюнктными полуинтервалами до всего полуинтервала.

(12 Янв 17:38) Vas12

Обычно подразумевается наличие пустого полуинтервала [a,a). Насчёт "догнать" -- очевидно, что можно, неясно, почему Вы это отрицаете. Изобразите хотя бы на числовой оси... Потребуется либо два дополнительных полуинтервала (если нет общего конца), либо всего один (при наличии общего конца). Я говорю о полуинтервалах с фиксированным включённым концом, если что. Если конец не фиксирован, то тогда полукольцом это не будет. Возможно, в Вашей задаче речь должна идти именно о моей ситуации, к тому же ответ как бы это подразумевает...

(12 Янв 17:43) caterpillar

@caterpillar, а вот стандартный n-мерный объем - мера на полукольце промежутков в R^n. Под промежутками же подразумеваются полуинтервалы и отрезки(для прямой), ведь множество интервалов уже не будет полукольцом.

(12 Янв 20:52) Vas12

Под промежутками понимаются отрезки, интервалы и любые полуинтервалы. Это уже полукольцо. В n-мерном случае аналогично, только там промежутки -- это параллелепипеды, у которых может быть исключена любая грань или несколько граней.

(12 Янв 21:03) caterpillar

@caterpillar, в совокупности они являются полукольцом. Но по отдельности же, например интервалы, не являются?

И последний вопрос: а зачем вообще рассматриваются(при рассмотрении меры Лебега) минимальные кольца порожденные полукольцами? (Я имею в виду такое определение: Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S , называется такое R , что его содержит любое кольцо, содержащее S.) И есть ли какой-то пример такого минимального кольца?

(12 Янв 21:25) Vas12

Интервалы не являются, как и отрезки. Самое естественное минимальное кольцо -- это кольцо, построенное из конечных объединений элементов полукольца (дизъюнктных или нет -- неважно). На него легко распространить меру с полукольца, чтобы потом можно было построить меру произвольного множества.

(13 Янв 4:24) caterpillar
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
12 Янв 13:42

показан
88 раз

обновлен
13 Янв 4:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru