Сумма: $%(-1)^n\cdot\tan(\pi/(2n^{1/3}))$%. Подскажите, пожалуйста, как определить, сходится он или нет

задан 12 Янв 23:12

изменен 13 Янв 0:14

falcao's gravatar image


258k23750

3

Признак Лейбница. Только надо добавить n>=2, а то при n=1 член ряда не определён.

(13 Янв 0:15) falcao

@falcao, сразу все стало понятно. Ряды не люблю, признаков уйма разных. Когда какой применить сразу без опыта не поймёшь- надо их классифицировать и по порядку примерять, пока нужный не попадётся

(13 Янв 0:43) epimkin

А спасибо- то забыл сказать. Спасибо

(13 Янв 0:50) epimkin

@falcao, а если бы после (-1)^n стояла возрастающая функция, то ряд бы расходился?

(13 Янв 0:52) epimkin

Например ln(3*n+2)/(n+2))

(13 Янв 0:52) epimkin
2

@epimkin, есть необходимый признак сходимости рядов...

(13 Янв 1:04) all_exist

@all_exist, понятно. (2+ln((n+1)/n))^2 расходится. Не выполнен необходимый признак?А n^2/(ln(n)(n^4+ 5n+1)) сходится?

(13 Янв 1:38) epimkin
1

@epimkin: $%{\text{Если }}{a_n} \sim \frac{1}{{{n^s}}}{\text{, где }}s > 1,{\text{ то ряд сходится}}{\text{.}}$%

Если s<1, то ряд расходится.

$%\frac{{{n^2}}}{{\left( {\ln n} \right) \cdot \left( {{n^4} + 5n + 1} \right)}} < \frac{{{n^2}}}{{{n^4}}} = \frac{1}{{{n^2}}} \Rightarrow {\text{ряд сходится}}$%

$%{\text{Если }}\left| {{a_n}} \right| \leqslant \left| {{b_n}} \right|{\text{ и }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left| {{b_n}} \right|} {\text{ сходится}}{\text{, то }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left| {{a_n}} \right|} {\text{ сходится}}{\text{.}}$%

(13 Янв 1:43) Igore

@Igore, спасибо

(13 Янв 1:53) epimkin

Остался один( из 10) (-1)^(n+1)*(n^10/n!). Подскажите, пожалуйста

(13 Янв 1:55) epimkin
1

@epimkin:

$%{\text{Если }}\left| {{a_n}} \right| \geqslant \left| {{b_n}} \right|{\text{ и }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left| {{b_n}} \right|} {\text{ расходится}}{\text{, то }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left| {{a_n}} \right|} {\text{ расходится}}{\text{.}}$%

$%\frac{{\ln \left( {3n + 2} \right)}}{{n + 2}} > \frac{1}{{n + 2}}.{\text{ Так как }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n + 2}}} {\text{ расходится}}{\text{, то }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {3n + 2} \right)}}{{n + 2}}} {\text{ расходится}}{\text{.}}$%

(13 Янв 1:56) Igore
2

@epimkin: надо следить за ростом величин. Ясно, что n^10/n! при n >> 1 убывает и стремится к нулю (отношение следующего члена к предыдущему надо брать). После этого всё тот же Лейбниц. Его в первую очередь надо иметь на примете, если есть (-1)^n.

(13 Янв 1:58) falcao
1

@epimkin, Остался один( из 10) (-1)^(n+1)*(n^10/n!) - тут вполне работают признаки Даламбера или Коши...

например, признак Коши... корень n-ой степени из числителя стремится к единице, а из знаменателя - к бесконечности... то есть q=0 - ряд абсолютно сходится...

а если Даламбером, то там после сокращения факториала и отбрасывания младших, остаётся 1/n, что тоже стремится к нулю...

(13 Янв 2:04) all_exist

@Igore, там под логарифмом всё ((3*n+2)/(n+2))

(13 Янв 2:09) epimkin

@Igore, откуда там 1/n, если аргумент логарифма стремится к 3?...

(13 Янв 2:32) all_exist

@all_exist: да, ошибся. Ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости.

(13 Янв 2:36) Igore
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
0

Всем спасибо (комментариев больше почему-то нет, пришлось ответить)

ссылка

отвечен 13 Янв 17:55

Да, там исчерпан был лимит (8 комментариев).

(13 Янв 19:04) falcao

@falcao, вот и ответил поэтому, потом ещё, может кто плюсик поставит. Смайликов нет, подумают, что я серьезно написал последнюю фразу

(13 Янв 19:19) epimkin
1

@epimkin, в принципе лишние комментарии можно было удалить... тогда всё влезло бы...

или ответ трансформировать в комментарий...

(13 Янв 19:22) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797

задан
12 Янв 23:12

показан
95 раз

обновлен
13 Янв 19:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru