|
Некоторое множество натуральных чисел обладает любопытным свойством: сумма любых двух или более элементов этого множества (не обязательно различных) не принадлежит этому множеству. а) Докажите, что это множество конечно. б) Докажите, что оно может быть сколь угодно большИм (но, разумеется, конечным). в) Если из условия убрать словосочетание "не обязательно различных", то можно построить счётное множество с указанным свойством. Приведите пример такого множества. задан 2 дня назад 
Казвертеночка |
|
a) Пусть множество бесконечно: a(1) < a(2) < ... . Среди a(2), a(3), ... найдутся два числа, дающие одинаковый остаток от деления на a(1). Тогда a(j)-a(i)=ma(1) для некоторых j > i, и получается, что сумма a(1)+...+a(1)+a(i) принадлежит множеству. б) По индукции. Пусть a(1) < ... < a(k) выбраны (база очевидна). Рассмотрим удвоенные числа. Они обладают тем же свойством. Добавим к ним следующее. Оно нечётное, и самое большое. Поэтому всё выполнено. Для наглядности: 1 2 3 4 6 7 8 12 14 15 ....... в) 1, 2, 4, 8, 16, ... . Из свойств двоичной системы всё следует. отвечен 2 дня назад 
falcao @falcao, большое спасибо!
(вчера)
Казвертеночка
|